2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：10.7 离散型随机变量及其分布列
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第七节 离散型随机变量及其分布列
知识体系
必备知识
1.随机变量
随着试验结果变化而变化的变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.
2.离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量.
3.离散型随机变量分布列
(1)定义:若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表
X | x1 | x2 | … | xi | … | xn |
P | p1 | p2 | … | pi | … | pn |
称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列,有时也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
(2)性质:
①pi≥0(i=1,2,…,n);
②pi=1.
4.常见两类特殊的分布列
(1)两点分布:
若随机变量X服从两点分布,即其分布列为
X | 0 | 1 |
P | 1-p | p |
其中p=P(X=1)称为成功概率.
(2)超几何分布:
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=,
k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,即如果随机变量X的分布列具有下表形式
X | 0 | 1 | … | m |
P | … |
则称随机变量X服从超几何分布.
1.易错点:
忽略分布列的性质
对于分布列易忽视其性质p1+p2+…+pn=1及pi≥0(i=1,2,…,n),其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确或计算某一随机变量取值对应概率.
2.注意点:
离散型随机变量的取值
确定离散型随机变量的取值时,易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.
基础小题
1.给出下列说法:
①抛掷均匀硬币一次,出现正面的次数是随机变量.
②某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布.
③离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.
④离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.
其中正确的说法为 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
【解析】选D.两点分布的实验结果只有0和1两个,所以②错误;离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和等于1,所以③错误.
2.有一批产品共12件,其中次品3件,每次从中任取一件,在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________.
【解析】可能第一次就取到合格品,也可能取完次品后才取得合格品,所以X的所有可能取值为0,1,2,3.
答案:0,1,2,3
3.已知离散型随机变量ξ的分布列为
ξ | 1 | 2 | 3 | … | n |
P | … |
则k的值为________.
【解析】由=1,得k=1.
答案:1
4.从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有X个红球,则随机变量X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P | __ | __ | __ |
【解析】因为X的所有可能取值为0,1,2,
所以P(X=0)==0.1,
P(X=1)===0.6,P(X=2)==0.3.
所以X的分布列为
X | 0 | 1 | 2 |
P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
答案:0.1 0.6 0.3
5.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的、3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为________.
【解析】由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球,
故P(X=4)==.
答案:
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