2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：8.5　曲线与方程

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第五节　曲线与方程

知识体系

必备知识

1.曲线与方程的定义

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:

那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.

2.求轨迹方程的基本步骤

1.易错点:混淆轨迹与轨迹方程

轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,前者指曲线的形状、位置、大小等特征,后者指方程(包括范围).

2.注意点:求轨迹方程的注意点

求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

基础小题

1.给出下列说法,正确的是________. 

①f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件.

②方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线.

③到两条互相垂直的直线的距离相等的点的轨迹方程是x2=y2.

④方程y=与x=y2表示同一曲线.

【解析】①正确.根据曲线与方程的定义可知;

②错误,对方程x2+xy=x进行变形可得x(x+y-1)=0,化简可得x=0或x+y-1=0,而x=0表示一条直线,x+y-1=0也表示一条直线,所以方程表示两条直线;

③错误,两条直线的具体位置不确定,无法求满足题意的轨迹方程;

④错误,方程y=中x≥0,y≥0,而方程x=y2中x≥0,y∈R,这两个方程表示的不是同一条曲线.

答案:①

2.(教材改编)方程(x-y)2+(xy-1)2=0表示的曲线是 (　　)

A.一条直线和一条双曲线　　 B.两条双曲线

C.两个点       D.以上答案都不对

【解析】选C.由(x-y)2+(xy-1)2=0

⇒　解得或

3.若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足·=0,则P点的轨迹是 (　　)

A.圆   B.椭圆

C.双曲线  D.抛物线

【解析】选A.因为·=0,

所以PM⊥PN.

所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆.

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