2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：8.7 双 曲 线
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第七节 双 曲 线
知识体系
必备知识
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距.
(2)集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
①当2a<|F1F2|时,M点的轨迹是双曲线;
②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹是两条射线;
③当2a>|F1F2|时,M点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准 方程 | -=1 (a>0,b>0) | -=1 (a>0,b>0) | |
图形 | |||
性质 | 范围 | x≥a或x≤-a, y∈R | x∈R, y≤-a或y≥a |
对称性 | 对称轴:坐标轴,对称中心:原点 | ||
顶点 | A1(-a,0),A2(a,0) | A1(0,-a),A2(0,a) | |
渐近线 | y=±x | y=±x | |
离心率 | e=,e∈(1,+∞) | ||
a,b,c 的关系 | c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) | ||
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为y=±x,离心率为e=.
4.双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e=⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a+2|AB|.
(6)双曲线的离心率公式可表示为e=.
1.易错点:
(1)忽视2a与|F1F2|的大小关系
双曲线的定义中易忽视2a<|F1F2|这一条件.
若2a=|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,则轨迹不存在.
(2)忽视a,b,c的关系
注意区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
2.注意点:易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系
当焦点在x轴上时,渐近线斜率为±,当焦点在y轴上时,渐近线斜率为±.
基础小题
1.给出下列说法:
(1)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离的差等于6的点的轨迹是双曲线.
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.
(3)双曲线-=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±=0.
(4)等轴双曲线的两条渐近线互相垂直,离心率等于.
其中说法不正确的是________.(填序号)
【解析】(3)(4)正确,(1)中点的轨迹是双曲线的一支,(2)中,若m<0, n<0, 表示焦点在y轴上的双曲线.
答案:(1)(2)
2.(教材改编)若方程-=1表示双曲线,则n的取值范围是 ( )
A.n>-2 B.n<-3
C.-3<m<-2 D.n>-2或n<-3
【解析】选D.由题意知(3+n)(n+2)>0,解得n>-2或n<-3.
3.(教材改编)双曲线-=1的焦距为________.
【解析】由双曲线-=1,易知c2=3+2=5,
所以c=,所以双曲线-=1的焦距为2.
答案:2
4.(教材改编)以椭圆+=1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为________.
【解析】设要求的双曲线方程为-=1(a>0,b>0),
由椭圆+=1,得椭圆焦点为(±1,0),顶点为(±2,0).所以双曲线的顶点为(±1,0),焦点为(±2,0).
所以a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,
所以双曲线方程为x2-=1.
答案:x2-=1
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