2021版高考文科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：8.5 椭圆
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第五节 椭 圆
知识体系
必备知识
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;
②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;
③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
图 形 | |||
标准方程 | +=1(a>b>0) | +=1(a>b>0) | |
性
质 | 范围 | -a≤x≤__a__ -b≤y≤__b__
| -b≤x≤__b__ -a≤y≤__a__
|
对称 性 | 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 | ||
顶点 | A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) | A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) | |
轴 | 长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b | ||
焦距 | |F1F2|=2c | ||
离心 率 | e=∈(0,1) | ||
a,b,c 的关系 | a2=b2+c2 | ||
1.易错点:椭圆的定义中,易忽略常数2a的限制
当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,动点的轨迹是不存在的.只有当2a>|F1F2|时动点的轨迹才是椭圆.
2.注意点:忽略椭圆焦点的位置
求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,而直接设方程为+=1(a>b>0).
基础小题
1.给出下列说法:
①平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;②方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲线是椭圆;③椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆;④+=1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆.
以上说法中错误的是________.(填序号)
【解析】①错误,常数必须大于两定点的距离;②错误,当m=n时,方程表示的曲线是圆;③错误,离心率越接近于1,椭圆越扁,离心率越接近于0,椭圆越圆;④错误,需要比较a2与b2的大小.
答案:①②③④
2.(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率为,则椭圆的标准方程为________.
【解析】设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
因为椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率e=,
所以
解得
故椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
3.已知焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则实数m等于 ( )
A.3 B. C.5 D.
【解析】选D.因为焦点在y轴上,所以m>4,因为离心率为,所以=,所以m=.
4.已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是 ( )
A.+=1
B.+=1或+=1
C.+=1
D.+=1或+=1
【解析】选B.因为a=4,e=,
所以c=3,所以b2=a2-c2=16-9=7.
因为焦点的位置不确定,所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.
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