2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识体系
必备知识
1.直线与圆的位置关系
设圆O的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:
| 相离 | 相切 | 相交 | |
图形 | ||||
方 法 | 代数法 | Δ<0 | Δ=0 | Δ>0 |
几何法 | d>r | d=r | d<r | |
2.两圆的位置关系
设两圆的半径分别为r1,r2(r1≥r2),两圆圆心间的距离为d
| 相离 | 外切 | 相交 | 内切 | 内含 |
图形 | |||||
几何 关系 | d>r1+r2 | d=r1+r2 | r1-r2 <d<r1+r2 | d=r1-r2 | d<r1-r2 |
3.直线与圆相交弦长公式
|AB|=2.
4.常用结论
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
③过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
(2)直线与圆的位置关系的常用结论
①当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离),弦长的一半及半径长所表示的线段构成一个直角三角形.
②弦长公式|AB|=|xA-xB|
=.
1.易错点:圆与圆位置关系中的易误点
判断圆与圆的位置关系不可忽视内切与内含.
2.注意点:求圆的切线易忽视的情况
过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.
基础小题
1.下列命题正确的是________.
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.
(2)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.
(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和,则两圆相交.
(4)若两圆相交,则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程.
【解析】依据直线与圆、圆与圆的位置关系,只有(4)正确.
答案:(4)
2.(教材改编)圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为 ( )
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
【解析】选D.圆的方程为(x-2)2+y2=4,
圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上,
设切线方程为y-=k(x-1),即kx-y-k+=0,
所以=2,解得k=,
所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.
3.两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是 ( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
【解析】选B.两圆方程可化为x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为O1(0,1),
O2(0,0),半径分别为r1=1,r2=2.因为|O1O2|=1=r2-r1,所以两圆的位置关系为内切.
4.(教材改编)若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=________.
【解析】当两圆内切时,=4,解得a=0,
当两圆外切时,=6,解得a=±2.
答案:0或±2
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