2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：6.5 直接证明与间接证明
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第五节 直接证明与间接证明
知识体系
必备知识
1.直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法.
(1)综合法:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
综合法又称为由因导果法(顺推证法).
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等),这种证明的方法叫做分析法.
分析法又称为执果索因法(逆推证法).
2.间接证明
反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
1.易忽视分析法证明数学问题的步骤
用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)……”“只需证……”“即证……”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.
2.易忽视反证法证明时,未用假设命题推理
利用反证法证明数学问题时,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.
基础小题
1.下列说法不正确的是 ( )
A.综合法是由因导果的顺推证法
B.分析法是执果索因的逆推证法
C.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件
D.综合法与分析法在同一题的证明中不可能同时采用
【解析】选D.综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.
2.(教材改编)若P=+,Q=+
(a≥0),则P,Q的大小关系是 ( )
A.P>Q B.P=Q
C.P<Q D.由a的取值确定
【解析】选C.假设P<Q,要证P<Q,只需证P2<Q2,
只需证2a+15+2<2a+15+
2,
只需证a2+15a+54<a2+15a+56,只需证54<56,因为54<56显然成立,所以P<Q成立.
3.在用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是 ( )
A.假设是有理数
B.假设是有理数
C.假设或是无理数
D.假设+是有理数
【解析】选D.要先假设原命题的否定,“+是无理数”的否定是“+是有理数”.
4.欲证-<-成立,只需证 ( )
A.(-)2<(-)2
B.(-)2<(-)2
C.(+)2<(+)2
D.(--)2<(-)2
【解析】选C.要证-<-,因为不等式两边为负数,故变形为证明:+
<+,此时不等式两边都为正数,故由分析法可得只需证:(+)2<
(+)2即可.
5.实数a,b,c满足a+b+c=0,abc>0,则++的值 ( )
A.一定是正数 B.一定是负数
C.可能是0 D.正、负不确定
【解析】选B.由a+b+c=0,abc>0得a,b,c中必有两负一正,不妨设a<0,b<0,c>0,且|a|<|c|,则>,从而->,而<0,所以++<0.
6.若a>0且a≠1,则loga(1+a)________loga.(用“>”“<”或“=”填空)
【解析】当a>1时,a>,所以1+a>1+>1.
所以loga(1+a)>loga.
当0<a<1时,a<.所以1+a<1+.
所以loga(1+a)>loga.
答案: >
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