2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：8.9　直线与圆锥曲线的位置关系

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第九节　直线与圆锥曲线的位置关系

知识体系

必备知识

1.直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程.

即消去y,得ax2+bx+c=0.

(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,

则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交;

Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切;

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离.

(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行;

若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2.弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,

A(x1,y1),B(x2,y2),则

|AB|=|x1-x2|

=·=|y1-y2|

=·.

1.易错点:

与双曲线的交点:直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点.

2.注意点:

与抛物线的交点:直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外,易忽视直线与对称轴平行(或重合)时也相交于一点.

基础小题

1.给出下列说法:

①直线l与椭圆C相切的充要条件是:直线l与椭圆C只有一个公共点;

②直线l与双曲线C相切的充要条件是:直线l与双曲线C只有一个公共点;

③过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p;

④如果直线x=ty+a与圆锥曲线相交于A(x1,y1),

B(x2,y2)两点,则弦长=.

其中正确的是________.(填序号) 

【解析】①对,椭圆是个封闭图形,直线与椭圆只有一个公共点时,一定相切.

②错,当直线l与渐近线平行时,直线与双曲线只有一个交点,但不相切.

③对,可转化为到准线的距离来证明.

④对,当t=0时,显然成立;当t≠0时,直线的斜率k=,根据弦长公式知④正确.

答案:①③④

2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有              (　　)

A.1条  B.2条  C.3条   D.4条

【解析】选C.结合图形分析可知,满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).

3.(教材改编)直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位

置关系为  (　　)

A.相交  B.相切  C.相离 D.不确定

【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.

4.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0,b>0)的交点个数是 (　　)

A.1 B.2 C.1或2 D.0

【解析】选A.因为直线y=x+3与双曲线的渐近线y=x平行,所以它与双曲线只有1个交点.

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