2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：6.6　数学归纳法

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第六节　数学归纳法

知识体系

必备知识

　数学归纳法

一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立.

(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.

1.数学归纳法的两个注意点

(1)数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.

(2)推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则不是数学归纳法.

2.易忽视“归纳—猜想—证明”问题的前若干具体项的计算

解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础,否则将会做大量无用功.

基础小题

1.给出以下对数学归纳法的描述,其中正确的个数是 (　　)

(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.

(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.

(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.

(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.

(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选A.第一步验证初始值n0不一定是n=1,故(1)错误;并不是所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明,故(2)错误;数学归纳法一定用归纳假设,故(3)错误;不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数增加了不止一项,故(4)错误;(5)正确.

2.(教材改编)用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到              (　　)

A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1

B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1

C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1

D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1

【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的,因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+…+2k-1+2k,而右边应为2k+1-1.

3.某个命题与正整数有关,如果当n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1(k∈N*)时命题也成立.现已知当n=8时该命题不成立,那么可推得              (　　)

A.当n=7时该命题不成立

B.当n=7时该命题成立

C.当n=9时该命题不成立

D.当n=9时该命题成立

【解析】选A.根据逆否命题和原命题的真假一致性得,当n=k(k∈N*)时命题不成立,则n=k-1(k∈N*)命题也不成立,所以当n=8时命题不成立,则n=7时命题也不成立.

4.(教材改编)用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1)”.当验证n=1时,上式左端计算所得为____________. 

【解析】当n=1时,左边=1+a+a2.

答案:1+a+a2

5.设数列{an}满足a1=2,an+1=2an+2,用数学归纳法证明an=4·2n-1-2的第二步中,假设当n=k时结论成立,即ak=4·2k-1-2,那么当n=k+1时,________. 

【解析】因为ak=4·2k-1-2,

所以ak+1=2ak+2=2(4·2k-1-2)+2=4·2(k+1)-1-2.

答案:ak+1=2ak+2=4·2(k+1)-1-2

6.已知f(n)=+++…+,则f(k+1)=f(k)+________. 

【解析】因为f(n)=+++…+,

所以f(k)=+++…+.

f(k+1)=+

++…+

=+++…++

=f(k)+-

答案:-

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