2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：2.8　函数与方程

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　第八节　函数与方程

知识体系

必备知识

1.函数的零点

(1)函数零点的定义.

对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

(2)函数零点的判定(零点存在性定理).

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·

f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

2.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象与零点的关系

3.有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.

(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.

　易错点:零点问题的两个易错点

(1)判断零点所在区间或零点个数时所画图形不准确而使结果出错.

(2)利用零点存在性定理判断零点时要注意讨论函数在区间内的单调性.

基础小题

1.给出下列说法,其中正确的是 (　　)

A.函数的零点是函数y=f(x)与x轴的交点

B.若f(x)在(a,b)上有零点,一定有f(a)·f(b)<0

C.若连续函数y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0,则函数在[a,b]上只有一根

D.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点

【解析】选D.A错误,函数的零点不是点而是数;

B错误,f(x)在(a,b)上有零点,不一定有f(a)·f(b)<0;

C错误不一定只有一个根,在[a,b]上可能有多个根.

2.(教材改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表:

则函数f(x)存在零点的区间有 (　　)

A.区间[2,3]和[3,4]

B.区间[3,4],[4,5]和[5,6]

C.区间[2,3],[3,4]和[4,5]

D.区间[1,2],[2,3]和[3,4]

【解析】选D.由表格可知f(1)f(2)<0,f(2)f(3)<0,

f(3)f(4)<0,根据零点存在性定理可知函数在[1,2],[2,3],[3,4]内存在零点.

3.已知函数f(x)=ln x-ax2+ax恰有两个零点,则实数a的取值范围为 (　　)

A.(-∞,0)    B.(0,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)  D.(-∞,0)∪{1}

【解析】选C.令f(x)=ln x-ax2+ax=0,

设g(x)=ln x,h(x)=ax2-ax,f(x)恰有两个零点,

即g(x),h(x)有两交点,

而a≤0或a=1时g(x)与h(x)只有一个交点,

所以a∈(0,1)∪(1,+∞).

4.函数f(x)=ln(x+1)-,(x>0)的根存在的大致区间是 (　　)

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)

【解析】选B.因为f(1)=ln(1+1)-2=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2),所以B选项是正确的.

5.下列函数中,是偶函数且不存在零点的是 (　　)

A.y=x2   B.y=

C.y=log2x  D.y=

【解析】选D.对于A,y=x2的对称轴为y轴,故y=x2是偶函数,令x2=0得x=0,所以y=x2的零点为x=0,不符合题意.对于B,y=的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,故y=不是偶函数,不符合题意.对于C,y=log2x的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故y=log2x不是偶函数,不符合题意.对于D,=,故y=是偶函数,=0方程无解.即y=无零点.

6.设函数f(x)=x-ln x(x>0),则函数f(x)在区间(0,1),(1,+∞)内的零点个数分别为________. 

【解析】函数f(x)=x-ln x(x>0)零点的个数,

即为函数y=ln x与y=x的图象交点个数,

在同一坐标系内分别作出函数y=ln x与y=x的图象,

易知两函数图象有且只有2个交点,均在(1,+∞)上,

即函数f(x)=x-ln x(x>0)只有2个零点,在(0,1)上有0个,在(1,+∞)上有2个.

答案:0,2

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