2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：3.5　简单的三角恒等变换

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第五节　简单的三角恒等变换

知识体系

必备知识

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)S(α+β):sin(α+β)=sin__αcos__β+cos__αsin__β. 

(2)S(α-β):sin(α-β)=sin__αcos__β-cos__αsin__β. 

(3)C(α+β):cos(α+β)=cos__αcos__β-sin__αsin__β. 

(4)C(α-β):cos(α-β)=cos__αcos__β+sin__αsin__β. 

(5)T(α+β):tan(α+β)= .

(6)T(α-β):tan(α-β)= .

2.倍角公式

(1)S2α:sin 2α=2sin__αcos__α. 

(2)C2α:cos 2α=cos__2α-sin__2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 

(3)T2α:tan 2α=.

3.降幂公式

(1)cos2α=.

(2)sin2α=.

4.升幂公式

(1)1+cos 2α=2cos2α.

(2)1-cos 2α=2sin2α.

5.辅助角公式

asin α+bcos α=sin(a,b不同时为0),

.

6.半角公式(不要求记忆)

(1)sin =±.

(2)cos =±.

(3)tan =±==

.

易错点:

(1)和差角公式混用导致错误

两角和与差的正弦、余弦、正切公式结构相同,公式中的“+”“-”不同,要准确记忆,正确应用.

(2)忽视角的范围导致错误

应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行计算时,一定要注意角α,β的取值范围,已知正弦求余弦,或者已知余弦求正弦时,正确选取正负号,以免得出错误的结论.

基础小题

1.下面有3个命题:

①sin(α+β)=sin α+sin β.

②函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π.

③把函数y=3sin的图象向右平移得到y=3sin 2x的图象.其中,真命题的个数是              (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.对于①,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,故①错,

对于②,y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos 2x,故最小正周期T==π,故②正确.

对于③,把函数y=3sin的图象向右平移得y=3sin=

3sin,故③错误.

所以正确命题的个数只有1个.

2.(教材改编)若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)的值为(　　)

A.  B.- C.3 D.-3

【解析】选A.tan(α-β)===.

3.(教材改编)已知sin=,α∈,则sin α= (　　)

A.  B.

C. D.

【解析】选D.因为α∈,

所以α-是锐角,所以cos=,

所以sin α=sin

=sincos+cossin

=×+×=.

4.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)=________. 

【解析】原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.

答案:

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