2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

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核心考点·精准研析

考点一　四种命题的关系及其真假判断 

1.下面的命题中是真命题的是 (　　)

A.y=sin2x的最小正周期为2π

B.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根同号,则>0

C.如果M⊆N,那么M∪N=M

D.在△ABC中,若·>0,则∠B为锐角

2.(2019·长春模拟)命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 (　　)

A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1

B.若-1<x<1,则x2<1

C.若x>1或x<-1,则x2>1

D.若x≥1或x≤-1,则x2≥1

3.(2020·天水模拟)下列说法中,正确的是 (　　)

A.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a>b,则2a≤2b-1”

B.命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,都有x2+x+1>0”

C.若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题

D.命题“若a2+b2=0,则ab=0”的逆命题是真命题

4.(2018·北京高考)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选B.y=sin2x=,T==π,故A为假命题;当M⊆N时,M∪N=N,故C为假命题;在三角形ABC中,当·>0时,向量与的夹角为锐角,∠B应为钝角,故D为假命题.

2.选D.命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为“若q,则p”的形式,所以“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤-1,则x2≥1”.

3.选C.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题应为“若a≤b,则2a≤2b-1”,故A错;命题“存在x0∈R,使得+x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,都有x2+x+1≥0”,故B错;若命题“非p”是真命题,则p是假命题,又因为命题“p或q”是真命题,那么命题q一定是真命题,C对;命题“若a2+b2=0,则ab=0”的逆命题是“若ab=0,则a2+b2=0”显然是假命题,故D错.

4.①若a>b>0,则<成立;

②若a>0>b,则,>0,<0,所以<不成立;

③若0>a>b,则<<0成立.

综上,只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说明原命题是假命题.

例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等.

答案:1,-1(答案不唯一)

1.命题真假的两种判断方法

(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行直接判断.

(2)四种命题的真假成对出现.即原命题与逆否命题的真假性相同,逆命题与否命题的真假性相同.当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.

2.写一个命题的其他三种命题时的注意点

(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写.

(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.

3.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.

考点二　充分条件、必要条件及充要条件的判断 

【典例】1.(2019·浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

2.(2019·天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 (　　)

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的 (　　)

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

【解题导思】

【解析】1.选A.当a>0,b>0时,a+b≥2,则当a+b≤4时,有2≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;

当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立,

综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.

2.选B.由x2-5x<0可得解集为A={x|0<x<5},由|x-1|<1可得B={x|0<x<2},易知BA,故0<x<5是0<x<2的必要而不充分条件,即“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件.

3.选B.“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的逆否命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题,所以原命题是假命题,充分性不成立.又因为原命题的否命题“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,所以原命题的逆命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题,所以必要性成立;故“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件.

　充分条件、必要条件的三种判断方法

(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.

(2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.

(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.

1.(2019·全国卷Ⅱ)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 (　　)

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α,β平行于同一条直线

D.α,β垂直于同一平面

【解析】选B.由面面平行的判定定理知:α内有两条相交直线都与β平行是α∥β的充分条件;

由面面平行的性质定理知,若α∥β,则α内任意一条直线都与β平行,所以α内有两条相交直线与β平行是α∥β的必要条件.

故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.

2.(2018·天津高考)设x∈R,则“<”是“x3<1”的 (　　)

A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件

C.充要条件      D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由<,得0<x<1,则0<x3<1,

即“<”⇒“x3<1”;

由x3<1,得x<1,当x≤0时,≥,

即“x3<1” “<”.

所以“<”是“x3<1”的充分而不必要条件.

考点三　充分、必要条件的综合应用 

充分条件、必要条件的探求

【典例】不等式x(x-2)<0成立的一个必要不充分条件是 (　　)

A.x∈(0,2)   B.x∈[-1,+∞)

C.x∈(0,1)   D.x∈(1,3)

【解析】选B.由x(x-2)<0得0<x<2,因为(0,2) [-1,+∞),所以“x∈[-1,+∞)”是“不等式x(x-2)<0成立”的一个必要不充分条件.

解答本题的关键是什么?

提示:由必要不充分关系确定集合关系.

充分条件、必要条件求参数的取值范围

【典例】已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________.              世纪金榜导学号 

【解析】由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,

所以P={x|-2≤x≤10},

由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

即所求m的取值范围是[0,3].

答案:[0,3]

1.在下列结论中:

①命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”;

②命题“若m2+n2=0,则m,n全为0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m,n全不为0”;

③命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题为真命题;

④“若x>1,则x2>1”的否命题为真命题.

其中正确结论有________个. (　　) 

A.1   B.2   C.3   D.4

【解析】选B.①正确.

②不正确,否命题为“若m2+n2≠0,则m,n不全为0”.

③m>0时,Δ=1+4m>0,所以原命题为真命题,所以逆否命题为真命题.

④逆命题“若x2>1,则x>1”为假命题,所以否命题为假命题.

故正确结论的序号为①③.

2.(2018·北京高考)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)

A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件

C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.

3.(2019·大庆模拟)已知p:x≤1+m,q:|x-4|≤6.若p是q的必要不充分条件,则m的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-1]   B.(-∞,9]

C.[1,9]    D.[9,+∞)

【解析】选D.由|x-4|≤6,解得-2≤x≤10,因为p是q的必要不充分条件,所以m+1≥10,解得m≥9.

祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的              (　　)

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件

C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由祖暅原理可得q⇒p,即p⇒q,则充分性成立;反之不成立,如将同一个圆锥正放和倒放,在等高处的截面积不恒相等,但体积相等,所以p是q的充分不必要条件.

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