2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 学案

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核心考点·精准研析

考点一　含有逻辑联结词命题的真假判断 

1.若命题“p∨q”是真命题,“p为真命题”,则 (　　)

A.p真,q真   B.p假,q真

C.p真,q假   D.p假,q假

【解析】选B.因为p为真命题,所以p为假命题,又因为p∨q为真命题,所以q为真命题.

2.设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是              (　　)

A.p∨q    B.p∧q

C.(p)∧(q)   D.p∧(q)

【解析】选A.取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a·b=0,b·c=0,但a·c=1≠0,所以p是假命题.

a,b,c是非零向量,由a∥b知a=xb,由b∥c知b=y c,所以a=xy c,所以a∥c,所以q是真命题.

综上知p∨q是真命题,p∧q是假命题.

又因为p为真命题,q为假命题,

所以(p)∧(q),p∧(q)都是假命题.

3.(2020·佛山模拟)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:x3>8是|x|>2的充要条件,下列命题为真命题的是              世纪金榜导学号(　　)

A.p∧q    B.(p)∨q

C.p∧(q)    D.(p)∧(q)

【解析】选C.命题p:当x>0时,x+1>1,所以ln(x+1)>ln 1=0,故命题p为真,所以p为假;命题q:因为x3>8即x>2,而|x|>2即x<-2或x>2,所以x3>8是|x|>2的充分不必要条件,故命题q为假,所以q为真.则p∧q假,(p)∨q假,p∧(q)真,(p)∧(q)假.

1.判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假

(1)弄清构成它的命题p,q的真假;

(2)弄清结构形式;

(3)根据真值表来判断新命题的真假.

2.判断复合命题的真假

关键是准确判断p,q的真假,本部分内容可和其他知识建立广泛的联系,因此,要注意相关知识的熟练掌握.

考点二　全称命题与特称命题 

【典例】1.(2019·西安模拟)下列命题中,真命题是 (　　)

A.∃x0∈R,sin2+cos2=

B.∀x∈(0,π),sin x>cos x

C.∃x0∈R,+x0=-2

D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1

2.命题“∀x>0,>0”的否定是 (　　)

A.∃x0≥0,≤0   B.∃x0>0,0≤x0≤1

C.∀x>0,≤0    D.∀x<0,0≤x≤1

3.(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0,+∞),ln x0=x0-1”的否定是 (　　)

A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1

B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1

C.∃x0∈(0,+∞),ln x0≠x0-1

D.∃x0∉(0,+∞),ln x0=x0-1

【解题导思】

【解析】1.选D.∀x∈R,均有sin2+cos2=1,故A是假命题;

当x∈时,sin x≤cos x,故B是假命题;

因为方程x2+x+2=0对应的判别式Δ=1-8<0,

所以x2+x+2=0无解,

所以∃x0∈R,+x0=-2是假命题,故C是假命题;

令f(x)=ex-x-1,则f'(x)=ex-1,

当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0恒成立,

则f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,

即∀x∈(0,+∞),ex>x+1.

2.选B.因为>0,所以x<0或x>1,

所以>0的否定是0≤x≤1,

所以命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”.

3.选A.改变原命题中的三个地方即可得其否定,∃改为∀,x0改为x,否定结论,即ln x≠x-1.

1.全称命题、特称命题的真假判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可.

(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x0,使p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.

(3)不管是全称命题,还是特称命题,其真假不容易正面判断时,可先判断其命题的否定的真假.

2.对全称(特称)命题进行否定的两步操作

(1)转换量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词.

(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.

1.已知命题“∃x0>0,使(x0-a)>1”,则这个命题的否定是 (　　)

A.∀x>0,使2x(x-a)>1    B.∀x>0,使2x(x-a)≤1

C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1   D.∀x≤0,使2x(x-a)>1

2.下列命题中,真命题是 (　　)

A.∀x∈R,x2-x-1>0

B.∀α,β∈R,sin(α+β)<sin α+sin β

C.∃x∈R,x2-x+1=0

D.∃α,β∈R,sin(α+β)=cos α+cos β

【解析】1.选B.命题的否定为∀x>0,使2x(x-a)≤1.

2.选D.因为x2-x-1=-≥-,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1=+≥,所以C是假命题.当α=β=时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D是真命题.

考点三　根据命题的真假求参数的取值范围 

复合命题真假的应用

【典例】已知命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:存在实数m,使方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则m的取值范围为              (　　)

A.[3,+∞)    B.(1,2]

C.(1,2]∪[3,+∞)  D.[1,2)∪(3,+∞)

【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,所以解得m>2,

因为方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,所以Δ<0,解得1<m<3.

因为“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,

所以p与q一真一假.

所以或

所以m的取值范围{m|m≥3或1<m≤2}.

若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题能得到什么结论?

提示:能得到p,q一真一假.

根据特称命题、全称命题求参数取值范围

【典例】1.已知命题“∃x0∈R,使2+(a-1)x0+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是              (　　)

A.(-∞,-1)    B.(-1,3)

C.(-3,+∞)    D.(-3,1)

2.已知p:∃x0∈R,m+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p和q都是假命题,则实数m的取值范围为              世纪金榜导学号(　　)

A.m≥2     B.m≤-2

C.m≤-2或m≥2   D.-2≤m≤2

【解析】1.选B.由题意知,原命题的否定为∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0,为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×<0,则-2<a-1<2,则-1<a<3.

2.选A.依题意知,p,q均为假命题.当p是假命题时,∀x∈R,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.综上m≥2.

若全称命题是假命题,则能得到哪个命题是真命题?同样,若特称命题是假命题,则能得到哪个命题是真命题?

提示:若全称命题是假命题,则其否定——特称命题是真命题,若特称命题是假命题,则其否定——全称命题是真命题.

1.已知命题p:∀x>0,x3>0,那么p是 (　　)

A.∃x0≤0,≤0    B.∀x>0,x3≤0

C.∃x0>0,≤0    D.∀x<0,x3≤0

【解析】选C.“∀x>0,x3>0”的否定应为“∃x0>0,≤0”.

2.设命题p:∃n0∈N,>,则p为 (　　)

A.∀n∈N,n2>2n   B.∃n0∈N,≤

C.∀n∈N,n2≤2n   D.∃n0∈N,=

【解析】选C.因为“∃x0∈M,p(x0)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n0∈N,>”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.

3.已知命题“∃x0∈R,+ax0-4a<0”为假命题,则实数a的取值范围为(　　)

A.[-16,0]    B.(-16,0)

C.[-4,0]     D.(-4,0)

【解析】选A.由题意可知“∀x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,所以Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.

(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题

①p∨q;②p∨q;③p∧q;④p∧q.

这四个命题中,所有真命题的编号是 (　　)

A.①③   B.①②   C.②③  D.③④

【解析】选A.分别取区域D内的点A(6,0),B(6,3),对于命题p,因为2×6+0=12≥9,故是真命题;对于命题q,因为2×6+3=15>12,故是假命题.所以p为假命题,q为真命题.故p∨q,p∧q为真命题.

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