2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析9.4　直线、平面垂直的判定及其性质 学案

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核心考点·精准研析

考点一　垂直关系的基本问题 

1.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的              (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:

①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则错误的命题为(　　)

A.①②③   B.①②④   C.①③④   D.②③④

3.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD.

①AC⊥BD;②平面ABC⊥平面ABD;③平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数有              (　　)

A.1   B.2   C.3   D.0

4.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是              世纪金榜导学号(　　)

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PBC

C.直线BC∥平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45°

【解析】1.选B.由平面与平面垂直的判定定理知:若m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.

2.选D.①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.

②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;

③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;

④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α可以相交或平行.

3.选C.因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,所以BD⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC,故①正确.因为BD⊥AC,BD⊥BC,AC∩BC=C,所以BD⊥平面ABC,又因为BD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC,故②正确.因为AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,故③正确.

4.选D.若PB⊥AD,因为PA⊥平面ABC,

所以PA⊥AD,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB,矛盾,所以A错误.过点A作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中,设AB=1,则PA=2,PB=,　AM=,BM=,又因为AC=,所以PC=,所以cos∠PBC =-,所以CM=,所以在三角形AMC中,cos∠AMC=-,所以AM与MC不垂直,所以B错误.因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误.

在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°.所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.

　与线面垂直关系有关命题真假的判断方法

(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.

(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.

(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.

【秒杀绝招】　排除法解T2,选D.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,故①正确,排除A,B,C,选D.

考点二　空间角及其应用 

【典例】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为________. 

2.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.

(1)证明:△PBC是直角三角形;

(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.

【解题导思】

【解析】1.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,

因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1O⊥BD.

因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=,

则C1O=2,所以sin∠C1OC==,

所以∠C1OC=30°.

答案:30°

2.(1)因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,

所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PBC是直角三角形.

(2)如图,过A作AH⊥PC于H,连接BH.

因为BC⊥平面PAC,AH⊂平面PAC,所以BC⊥AH,

又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,

所以AH⊥平面PBC,

所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角,

因为PA⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角,因为tan∠PCA ==,又PA=2,所以AC=,所以在Rt△PAC中,AH==,

所以在Rt△ABH中,sin∠ABH===,

即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

1.求直线与平面所成的角的一般步骤

(1)找直线与平面所成的角,即通过找直线在平面上的射影来完成;

(2)计算,要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解.

2.作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定义法,也可以通过垂面法进行,即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱的垂线,两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直,由此可得二面角的平面角.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 (　　)

A.   B.   C.    D.

【解析】选D.如图,连接BD交AC于O,连接D1O,

由于BB1∥DD1,所以DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即为所求的角.设正方体的棱长为1,则DD1=1,DO=,D1O=,所以

cos∠DD1O===.

所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.

考点三　直线、平面垂直,面面垂直的判定与性质 

直线、平面垂直的判定与性质

【典例】如图所示,已知AB为圆O的直径,点D为线段AB上一点,且AD=DB,点C为圆O上一点,且BC=AC,PD⊥平面ABC,PD=DB.

求证:PA⊥CD.

【证明】因为AB为圆O的直径,所以AC⊥CB,

在Rt△ABC中,由AC=BC得∠ABC=30°,设AD=1,由3AD=DB得,DB=3,BC=2,

由余弦定理得CD2=DB2+BC2-2DB·BCcos 30°=3,

所以CD2+DB2=BC2,即CD⊥AO.

因为PD⊥平面ABC,CD⊂平面ABC,

所以PD⊥CD,由PD∩AO=D得,CD⊥平面PAB,

又因为PA⊂平面PAB,所以PA⊥CD.

面面垂直的判定与性质

【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA.               世纪金榜导学号

(1)证明:平面ACD⊥平面ABC.

(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积.

【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,则BA⊥AC.

又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.

又AB⊂平面ABC,

所以平面ACD⊥平面ABC.

(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.

又BP=DQ=DA,所以BP=2.

作QE⊥AC,垂足为E,则QE∥CD且QE=DC=1.

由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,

所以QE⊥平面ABC,

因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=×QE×S△ABP=×1××3×2sin 45°=1.

1.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC=a,BC=a.

求证:平面PAB⊥平面PAC.

【证明】因为PA⊥平面ABC,

所以PA⊥AB,PA⊥AC,

所以∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.

又AB=AC=a,BC=a,

所以∠BAC=90°,所以平面PAB⊥平面PAC.

2.如图,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.

(1)求证:GF∥平面ABC.

(2)求几何体C-ADEB的体积.

【解析】(1)如图,取BC的中点M,AB的中点N,连接GM,FN,MN.

因为G,F分别是EC,BD的中点,

所以GM∥BE,且GM=BE,

NF∥DA,且NF=DA.

又四边形ABED为正方形,所以BE∥AD,BE=AD,

所以GM∥NF且GM=NF.

所以四边形MNFG为平行四边形.

所以GF∥MN,又MN⊂平面ABC,GF⊄平面ABC,

所以GF∥平面ABC.

(2)连接CN,因为AC=BC,所以CN⊥AB,

又平面ABED⊥平面ABC,CN⊂平面ABC,

所以CN⊥平面ABED.

易知△ABC是等腰直角三角形,所以CN=AB=,

因为C-ABED是四棱锥,

所以VC-ABED=S四边形ABED·CN=×1×=.

1.如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M,N分别是AB,PC的中点.

(1)求证:MN⊥CD.

(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

【证明】(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE,NE,

因为N是PC的中点,E为PD的中点,

所以NE∥CD,且NE=CD,

而AM∥CD,且AM=AB

=CD,

所以NEAM,所以四边形AMNE为平行四边形,

所以MN∥AE.

又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,

又因为ABCD为矩形,所以AD⊥CD.

而AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,

所以CD⊥AE.又AE∥MN,所以MN⊥CD.

(2)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,

又∠PDA=45°,所以△PAD为等腰直角三角形.

又E为PD的中点,

所以AE⊥PD,又由(1)知CD⊥AE,

PD∩CD=D,CD,PD⊂平面PDC,

所以AE⊥平面PCD.

又AE∥MN,所以MN⊥平面PCD.

2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥BC,∠A1AC=60°,A1A=AC=BC=1,A1B=.

(1)求证:平面A1BC⊥平面ACC1A1.

(2)如果D为AB中点,求证:BC1∥平面A1CD.

【证明】(1)因为∠A1AC=60°,A1A=AC=1,

所以△A1AC为等边三角形,所以A1C=1.

因为BC=1,A1B=,所以A1C2+BC2=A1B2.

所以∠A1CB=90°,即A1C⊥BC.

因为BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1,

所以BC⊥平面ACC1A1.

因为BC⊂平面A1BC,

所以平面A1BC⊥平面ACC1A1.

(2)连接AC1交A1C于点O,连接OD.

因为ACC1A1为平行四边形,

所以O为AC1的中点.因为D为AB的中点,

所以OD∥BC1.因为OD⊂平面A1CD,BC1⊄平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.

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