2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.2函数的单调性与最值 学案

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核心考点·精准研析

考点一　函数的单调性(区间) 

1.下列函数中,在区间(-∞,0)上是减函数的是 (　　)

A.y=1-x2　      B.y=x2+2x

C.y=-     D.y=

2.函数f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间是 (　　)

A.(-∞,-2)   B.(-∞,1)

C.(1,+∞)   D.(4,+∞)

3.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是 (　　)

A.y=在R上为减函数

B.y=|f(x)|在R上为增函数

C.y=-在R上为增函数

D.y=-f(x)在R上为减函数

4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是(　　)

A.(-∞,0]   B.[0,1)

C.[1,+∞)　   D.[-1,0]

【解析】1.选D.对于选项A,该函数是开口向下的抛物线,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项B,该函数是开口向上的抛物线,在区间(-∞,-1]上是减函数,在区间[-1,+∞)上是增函数;对于选项C,在区间(-∞,0]上是增函数;对于选项D,因为y==1+.易知其在(-∞,1)上为减函数.

2.选D.函数有意义,则x2-2x-8>0,解得:x<-2或x>4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+∞).

3.选D.特例法:设f(x)=x,则y==的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,A错;则y=|f(x)|=|x|在R上无单调性,B错;则y=-=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在定义域上无单调性,C错.y=-f(x)=-x在R上为减函数,所以选项D正确.

4.选B.因为g(x)=

作出函数图象如图所示,

所以其递减区间为[0,1).

　　判断函数单调性的方法

(1)定义法:取值→作差→变形→定号→结论.

(2)图象法:从左往右看,图象逐渐上升,单调递增;图象逐渐下降,单调递减.

(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则.

(4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性.

其中(2)(3)一般用于选择题和填空题.

考点二　函数的最值(值域) 

【典例】1.函数y=的值域是________. 

2.函数y=x+的最小值为________. 

3.已知函数f(x)=-(a>0,x>0),若f(x)在

上的值域为,则a=________. 

【解题导思】

【解析】1.(分离常数法)因为y==-1+,又因为1+x2≥1,所以0<≤2,所以-1<-1+≤1,所以函数的值域为(-1,1].

答案:(-1,1]

2.方法一:因为函数y=x和y=在定义域内均为增函数,故函数y=x+在其定义域[1,+∞)内为增函数,所以当x=1时y取最小值,即ymin=1.

方法二:令t=,且t≥0,则x=t2+1,

所以原函数变为y=t2+1+t,t≥0.

配方得y=+,

又因为t≥0,所以y≥+=1.

故函数y=x+的最小值为1.

答案:1

3.由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>0,x>0)在上单调递增,

所以即解得a=.

 答案:

　求函数最值的常用方法

(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.

(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.

(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.

(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.

(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

1.若函数f(x)=则函数f(x)的值域是 (　　)

A.(-∞,2)   B.(-∞,2]

C.[0,+∞)   D.(-∞,0)∪(0,2)

【解析】选A.当x<1时,0<2x<2,

当x≥1时,f(x)=-log2x≤-log21=0,

综上f(x)<2,即函数的值域为(-∞,2).

2.函数y=的值域为________. 

【解析】y===3+,

因为≠0,所以3+≠3,

所以函数y=的值域为{y|y≠3}.

答案:{y|y≠3}

3.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________. 

【解析】因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.

所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.

答案:3

考点三　函数单调性的应用 

比较大小问题

【典例】(2020·重庆模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为              (　　)

A.c>a>b    B.c>b>a

C.a>c>b    D.b>a>c

【解析】选D.因为f(x)的图象关于x=1对称,所以f=f,又由已知可得f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以f(2)>f>f(e),即f(2)>f>f(e).

如何比较函数值的大小?

提示:应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.

与抽象函数有关的不等式问题

【典例】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有f=f(x)-f(y),当x>1时,有f(x)>0.              世纪金榜导学号

(1)求f(1)的值;

(2)判断f(x)的单调性并证明;

(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)-f<2.

【解析】(1)f(1)=f=f(x)-f(x)=0.

(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数.

证明:设0<x1<x2,则由f=f(x)-f(y),得f(x2)-f(x1)=f,因为>1,所以f>0.所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.

(3)因为f(6)=f=f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)=2,原不等式化为f(x2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以

解得0<x<4.

如何判断抽象函数的单调性?

提示:结合题目所给性质和相应的条件,对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小,或与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形,如x1=x2+x1-x2或x1=x2·等.深挖已知条件,是求解此类题的关键.

已知函数单调性求参数值问题

【典例】(2018·全国卷I)设函数f=则满足f<f的x的取值范围是 (　　)

世纪金榜导学号

A.   B.

C.    D.

【解析】方法一:选D.将函数f(x)的图象画出来.

观察图象可知,解得x<0,

所以满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(-∞,0).

方法二:选D.取x=-,则化为f<f(-1),成立,排除A,B;

取x=-1,则化为f(0)<f(-2),成立,排除C.

如何利用单调性求解参数问题?

提示:先依据函数的图象或单调性的定义确定函数的单调区间,再依据单调性得出含参数的方程或不等式,即可求解.

1.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a的值为 (　　)

A.-2   B.2　   C.-6　   D.6

【解析】选C.由图象易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是,令-=3,所以a=-6.

2.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是              (　　)

A.(8,+∞)    B.(8,9]

C.[8,9]     D.(0,8)

【解析】选B.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),

由f(x)+f(x-8)≤2,可得f[x(x-8)]≤f(9),

因为f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,

所以有解得8<x≤9.

3.函数y=f(x)是R上的增函数,且y=f(x)的图象经过点A(-2,-3)和B(1,3),则不等式|f(2x-1)|<3的解集为________. 

【解析】因为y=f(x)的图象经过点A(-2,-3)和B(1,3),所以f(-2)=-3,f(1)=3.又|f(2x-1)|<3,所以-3<f(2x-1)<3,即f(-2)<f(2x-1)<f(1).因为函数y=f(x)是R上的增函数,所以-2<2x-1<1,即

即所以-<x<1.

答案:

1.已知函数f(x)=,如果对于实数a的某些值,可以找到相应的正数b,使得f(x)的定义域与值域相同,那么符合条件的实数a的个数是              (　　)

A.1　   B.2   C.3 　   D.4

【解析】选B. (1)若a=0,则对于每一个正数b,f(x)=,

其定义域和值域都是[0,+∞),故a=0满足条件.

(2)若a>0,b为正数,则f(x)=的定义域D=∪[0,+∞),f(x)的值域A=[0,+∞),因为D≠A,所以a>0不符合条件.

(3)若a<0,b为正数,则f(x)的定义域为D=,因为f(x)max=,所以f(x)的值域A=,则-=⇔

解得a=-4.

综上所述,a的值为0或-4.

2.(2020·北京模拟)函数y=f(x),x∈[1,+∞),数列{an}满足an=f(n),n∈N*,

①函数f(x)是增函数;

②数列{an}是递增数列.

写出一个满足①的函数f(x)的解析式________. 

写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式________. 

【解析】由题意可知:在x∈[1,+∞)这个区间上是增函数的函数有许多,可写为:f(x)=x2.

第二个填空是找一个数列是递增数列,而对应的函数不是增函数,可写为:f(x)=.

则这个函数在上单调递减,在上单调递增,

所以f(x)=在[1,+∞)上不是增函数,不满足①.而对应的数列为:an=在n∈N*上越来越大,属递增数列.

答案:(答案不唯一)f(x)=x2　f(x)=

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