2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析9.3　直线、平面平行的判定及其性质 学案

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核心考点·精准研析

考点一　直线、平面平行的基本问题 

1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是              (　　)

A.OQ∥平面PCD   B.PC∥平面BDQ

C.AQ∥平面PCD   D.CD∥平面PAB

2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是 (　　)

A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b

B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β

C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β

D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b

3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:

①EC⊥平面AFN;

②CN∥平面AFB;

③BM∥DE;

④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是 (　　)

A.①③  B.②③  C.①②④   D.②③④

4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.              世纪金榜导学号 

【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.

2.选D.选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;

选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;

选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;　

选项D为面面平行性质定理的符号语言.

3.选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:

由⇒FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正确;由CN∥BE,则CN∥平面AFB,故②正确;由图可知BM∥DE显然错误,故③不正确;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正确.

4.因为平面ABFE∥平面CDHG,

又平面EFGH∩平面ABFE=EF,

平面EFGH∩平面CDHG=HG,

所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.

答案:平行四边形

　直线、平面间平行的判定方法

(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.

(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.

(3)利用实物进行空间想象,比较判断.

(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.

【秒杀绝招】　

直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD =P,所以AQ∥平面PCD是错误的.

考点二　直线、平面平行的判定与性质 

【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________. 

2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.

求证:A1C∥平面DEF.

【解题导思】

【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.

易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,

故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.

又D,E分别为AB,BC的中点,

则H,F也为AS,SC的中点,

从而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,

所以四边形DEFH为平行四边形.

又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,

所以四边形DEFH为矩形,

其面积S=HF·HD=·=.

答案:

2.如图,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,

因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,

又因为CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A1C∥平面DEF.

1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.判断或证明线面平行的常用方法

(1)利用线面平行的定义(无公共点).

(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).

(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β;α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).

1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________. 

【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,

所以AC=2.

又E为AD中点,EF∥平面AB1C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,

所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.

答案:

2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,　CD=4,E为PC的中点.

求证:BE∥平面PAD.

【证明】设F为PD的中点,连接EF,FA.

因为EF为△PDC的中位线,

所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以ABEF,故四边形ABEF为平行四边形,

所以BE∥AF.

又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,

所以BE∥平面PAD.

考点三　面面平行的判定与性质及平行的综合问题 

面面平行的判定与性质

【典例】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:

(1)B,C,H,G四点共面.

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

【证明】(1)因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,

所以GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1.

又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,

所以B,C,H,G四点共面.

(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.

因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,

所以EF∥平面BCHG.

又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1∥AB且A1B1=AB,所以A1G∥EB,A1G=EB,

所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB.

又因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,

所以A1E∥平面BCHG.

又因为A1E∩EF=E,A1E,EF⊂平面EFA1,

所以平面EFA1∥平面BCHG.

平行关系的综合应用

【典例】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,点M是BC的中点,点N是AA1的中点.              世纪金榜导学号

(1)求证:MN∥平面A1CD.

(2)过N,C,D三点的平面把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.

【解析】(1)取AD的中点P,A1D的中点E,连接NE、EC.

又因为N是AA1的中点,所以NEAPMC,

所以四边形NECM为平行四边形,所以MN∥EC,

又因为EC⊂平面A1CD,MN⊄平面A1CD,

所以MN∥平面A1CD.

(2)取BB1的中点Q,连接NQ、CQ、ND,

因为点N是AA1的中点,所以NQ∥AB.

因为AB∥CD,所以NQ∥CD,所以过N,C,D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体,其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD,另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1.

所以=QB·BC=×1×1=.

所以直三棱柱QBC-NAD的体积

V1=·AB=.

因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2.

所以直四棱柱B1QCC1-A1NDD1的体积

V2=V-V1=,所以==.

所以所截成的两部分几何体的体积的比值为.

1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为______ cm. 

【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME,NF,

所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,

所以==,

因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,

所以=,解得BC= cm,

所以AC=AB+BC=2+=(cm).

答案:

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证:

(1)直线EG∥平面BDD1B1.

(2)平面EFG∥平面BDD1B1.

【证明】(1)如图,连接SB,

因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.

又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1,

所以直线EG∥平面BDD1B1.

(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,

所以FG∥SD.

又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,

所以FG∥平面BDD1B1,

又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,

所以平面EFG∥平面BDD1B1.

1.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________. 

【解析】如图,连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由==,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.

答案:平面ABC、平面ABD

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

【解析】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

证明如下:因为Q为CC1的中点,P为DD1的中点,

所以QB∥PA.因为P,O分别为DD1、DB的中点,所以D1B∥PO.又因为D1B⊄平面PAO,PO⊂平面PAO,

QB⊄平面PAO,PA⊂平面PAO,

所以D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO,

又D1B∩QB=B,D1B、QB⊂平面D1BQ,

所以平面D1BQ∥平面PAO.

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