2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.9函数模型及其应用 学案

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核心考点·精准研析

考点一　利用图象刻画实际问题 

1.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图

根据该折线图,下列结论错误的是 (　　)

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳

【解析】选A.由题图可知,2014年8月到9月的月接待游客量在减少,则A选项错误,故选A.

2.如图所示,一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是a(m)(0<a<12)、4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为S(m2),S的最大值为f(a),若将这棵树围在花园内,则函数u=f(a)的图象大致是              (　　)

【解析】选C.设BC=x m,则DC=(16-x)m,由得a≤x≤12.

矩形面积S=x(16-x)≤=64.

当x=8时取等号.当0<a≤8时,u=f(a)=64;

当a>8时,由于函数在[a,12]上为减函数,

所以当x=a时,矩形面积取最大值Smax=f(a)=a(16-a).

3.某地一年的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示,已知该年的平均气温为10℃,令C(t)表示时间段[0,t]的平均气温,下列四个函数图象中,最能表示C(t)与t之间的函数关系的是              (　　)

【解析】选A.若增加的数大于当前的平均数,则平均数增大;若增加的数小于当前的平均数,则平均数减小.因为12个月的平均气温为10℃,所以当t=12时,平均气温应该为10℃,故排除B;因为在靠近12月份时其温度小于10℃,因此12月份前的一小段时间内的平均气温应该大于10℃,排除C;6月份以后增加的温度先大于平均值后小于平均值,故平均气温不可能出现先减小后增加的情况,故排除D.

4.(2020·郑州模拟)如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线l与▱ABCD的另一边交于点N.当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是              世纪金榜导学号(　　)

【解析】选C.不妨设速度为1.假设∠A=45°,AD=2,AB=4,则MN=t,当0≤t≤2时,AM=MN=t,则S=t2为二次函数;当2≤t≤4时,S=t为一次函数.

　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.

(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.

考点二　已知函数模型求解实际问题 

【典例】1.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000

+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是              (　　)

A.100台  B.120台  C.150台  D.180台

2.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)=

已知某家庭2016年前三个月的煤气费如表:

若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为 (　　)

A.11.5元  B.11元  C.10.5元  D.10元

3.某农场种植一种农作物,为了解该农作物的产量情况,现将近四年的年产量f(x)(单位:万斤)与年份x(记2015年为第1年)之间的关系统计如下:

则f(x)近似符合以下三种函数模型之一:①f(x)=ax+b;②f(x)=2x+a;

③f(x)=x2+b.则你认为最适合的函数模型的序号是________. 

【解题导思】

【解析】1.选C.设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-

3 000(0<x<240,x∈N*).

令f(x)≥0,得x≥150,

所以生产者不亏本时的最低产量是150台.

2.选A. 根据题意可知f(4)=C=4,f(25)=C+B(25-A)=14,f(35)=C+B(35-A)=19,解得A=5,B=,C=4,所以f(x)=

所以f(20)=4+(20-5)=11.5.

3.若模型为②,则f(1)=2+a=4,解得a=2,于是f(x)=2x+2,此时f(2)=6,f(3)=10,f(4)=18,与表格中的数据相差太大,不符合;若模型为③,则f(1)=1+b=4,解得b=3,于是f(x)=x2+3,f(2)=7,f(3)=12,f(4)=19,此时,与表格中的数据相差太大,不符合;

若模型为①,则根据表中数据得

解得a=,b=,经检验是最适合的函数模型.

答案:①

　求解已知函数模型解决实际问题的关键

(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.

(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.

(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.

1.(2020·中山模拟)据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:min)为f(x)=(A,c为常数).已知某工人组装第4件产品用时30 min,组装第A件产品用时15 min,那么c和A的值分别是              (　　)

A.75,25       B.75,16

C.60,25       D.60,16

【解析】选D.由题意可知4<A,则

解得

2.已知一容器中有A,B两种菌,且在任何时刻A,B两种菌的个数乘积均为定值1010,为了简单起见,科学家用PA=lg nA来记录A菌个数的资料,其中nA为A菌的个数,现有以下几种说法:

①PA≥1;②若今天的PA值比昨天的PA值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10;③假设科学家将B菌的个数控制为5万,则此时5<PA<5.5(注:lg 2≈0.3).则正确的说法为________.(写出所有正确说法的序号) 

【解析】当nA=1时,PA=0,故①错误;若PA=1,则nA=10,若PA=2,则nA=100,故②错误;B菌的个数为nB=5×104,所以nA==2×105,所以PA=lg nA=lg 2+5.又因为lg 2≈0.3,所以5<PA<5.5,故③正确.

答案:③

考点三　建立数学模型解决实际问题 

初等函数模型及其应用

【典例】(2019·马鞍山模拟)某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)              (　　)

A.2020年      B.2021年

C.2022年      D.2023年

【解析】选C.若2019年是第1年,则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元,由1 300×1.12n>2 000,可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2,所以n×0.05>0.19,得n>3.8,即n≥4,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C.

每年投入的科研经费比上一年增长12%,说明每年经费是上一年的多少倍?

提示:说明每年经费是上一年的1.12倍.

对勾函数模型及其应用

【典例】为了降低能源损耗,某体育馆的外墙需要建造隔热层,体育馆要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10,k为常数),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求k的值及f(x)的表达式.

(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小?并求最小值.

【解析】(1)当x=0时,C=8,

所以k=40,

所以C(x)=(0≤x≤10),

所以f(x)=6x+=6x+(0≤x≤10).

(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+-10.

令3x+5=t,t∈[5,35],

则y=2t+-10≥2-10=70(当且仅当2t=,即t=20时等号成立),此时x=5,

因此f(x)的最小值为70.

所以隔热层修建5 cm厚时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元.

对勾函数求最值应注意什么?

提示:对勾函数求最值一定要注意该函数的单调性,然后再求最值.

分段函数模型及其应用

【典例】(2020·银川模拟)大气温度y(℃)随着距离地面的高度x(km)的增加而降低,当在高度不低于11 km的高空时气温几乎不变.设地面气温为22℃,大约每上升1 km大气温度降低6℃,则y关于x的函数关系式为________.              世纪金榜导学号 

【解析】由题意知,y是关于x的分段函数,x=11为分界点,易得其解析式为y=

答案:y=

实际问题中分段函数的适用条件是什么?

提示:实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车计价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.

1.要制作一个容积为16 m3,高为1 m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元. 

【解析】设长方体容器底面矩形的长、宽分别为x m,y m,则y=,

所以容器的总造价为z=2(x+y)×1×10+20xy=20+20×16,

由基本不等式得,

z=20+20×16

≥40+320=480,

当且仅当x=y=4,即底面是边长为4 m的正方形时,总造价最低.

答案:480

2.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付________元; 

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为________. 

【解析】①价格为60+80=140元,达到120元,少付10元,所以需支付130元.

②设促销前总价为a元,a≥120,

李明得到金额l(x)=(a-x)×80%≥0.7a,0≤x≤120,即x≤恒成立,

又最小值为=15,所以x最大值为15.

答案:①130　②15

1.(2019·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份  (　　)

A.甲食堂的营业额较高

B.乙食堂的营业额较高

C.甲、乙两食堂的营业额相同

D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高

【解析】选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为-=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.

2.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为________,该工厂的年产量为________件时,所得年利润最大(年利润=年销售总收入-年总投资). 

【解析】年销售总收入减去年总投资即可得到年利润,年总投资为(x+100)万元,故函数关系式为

y=

当0<x≤20时,x=16时函数值最大,且最大值为156;

当x>20时,y<140.

故年产量为16件时,年利润最大.

答案:y=　16

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