2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析1.1　集合 学案

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核心考点·精准研析

考点一　集合的含义及表示 

1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为(　　)

A.3  B.6  C.8  D.9

2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a= (　　)

A.    B.    C.0    D.0或

3.已知a,b∈R,若={a2,a+b,0},则a2 021+b2 021为 (　　)

A.1  B.0  C.-1  D.±1

4.(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为              (　　)

世纪金榜导学号

A.9   B.8   C.5   D.4

【解析】1.选D.集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4),共9个.

2.选D.若集合A中只有一个元素,则方程ax2-3x+2=0只有一个实根或有两个相等实根.

当a=0时,x=,符合题意;

当a≠0时,由Δ=(-3)2-8a=0得a=,所以a的取值为0或.

3.选C.由已知得a≠0,则=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a2 021+b2 021=(-1)2 021+02 021=-1.

4.选A.由x2+y2≤3知,-≤x≤,-≤y≤.又x∈Z,y∈Z,所以x∈{-1,0,1},y∈{-1,0,1},所以A中元素的个数为9.

1.集合定义应用

要明确构成集合的元素,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后看元素的限制条件是什么,准确把握集合的含义.

2.二次项系数讨论

若二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等的二次项系数含有参数,必须讨论二次项系数为0的情况.

【秒杀绝招】　

1.排除法解T2,a=0时显然方程有一个解,排除A、B,当a≠0时,由Δ=0解得a=,排除C.

2.图象法解T4,画出圆x2+y2=3,在圆内找整点.如图所示,在圆内共有9个整点,故选A.

考点二　集合间的基本关系 

【典例】1.(2020·邯郸模拟)已知集合A={x|x2-4x<5},B={x|<2},则下列判断正确的是              (　　)

A.-1,2∈A　   　B.∉B

C.B⊆A     D.A∪B={x|-5<x<4}

2.(2019·大庆模拟)集合A=,B={y|y=x2+1,x∈A},则集合B的子集个数为              (　　)

A.5   B.8   C.3   D.2

3.已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　)世纪金榜导学号

A.(-∞,-3]∪[2,+∞)   B.[-1,2]

C.[-2,1]       D.[2,+∞)

【解题导思】

【解析】1.选C.因为A={x|-1<x<5},B={x|0≤x<4},所以B⊆A.

2.选B.由≤0得-1≤x<3,则A={-1,0,1,2},B={y|y=x2+1,x∈A}={1,2,5},其子集的个数为23=8个.

3.选C.集合A={x|y=}={x|-2≤x≤2},因为B⊆A,所以有所以-2≤a≤1.

1.集合间基本关系的两种判定方法

(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系.

(2)用列举法、图示法、数轴表示各个集合,从元素或图形中寻找关系.

2.求参数的方法

将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,表示为参数满足的关系.解决这类问题还要合理利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.

1.已知集合M={0,1},则满足条件M∪N=M的集合N的个数为 (　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

2.已知集合A={x∈R|x2+x-6=0},B={x∈R|ax-1=0},若B⊆A,则实数a的取值集合为________. 

【解析】1.选D.由M∪N=M,得N⊆M.又M中有2个元素,故其子集的个数为22=4,所以集合N的个数为4.

2.A={-3,2},若a=0,则B=∅,满足B⊆A;若a≠0,则B=,由B⊆A知,=-3或=2,故a=-或a=,因此a的取值集合为.

答案:

考点三　集合的运算 

集合的交集、并集运算

【典例】1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=

(　　)

A.{x|-4<x<3}   B.{x|-4<x<-2}

C.{x|-2<x<2}   D.{x|2<x<3}

2.设集合A={x||x|<1},B={x|x(x-3)<0},则A∪B= (　　)

A.(-1,0)   B.(0,1)   C.(-1,3)   D.(1,3)

【解析】1.选C.由题意得M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},

则M∩N={x|-2<x<2}.

2.选C.A={x|-1<x<1},B={x|0<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3}.

涉及不等式的集合运算时,借助什么工具解题?

提示:当题目中涉及不等式时,常借助数轴解题.

集合的补集运算

【典例】1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA= (　　)

A.{x|-1<x<2}     B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}   D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

2.(2019·资阳模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x-1≥0},则图中阴影部分所表示的集合为              世纪金榜导学号(　　)

A.{x|x≤-1或x≥3}

B.{x|x<1或x≥3}

C.{x|x≤1}

D.{x|x≤-1}

【解析】1.选B.方法一:A={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.

方法二:因为A={x|x2-x-2>0},

所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.

2.选D.图中阴影部分表示集合为∁U(A∪B),

又A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},

所以A∪B={x|x>-1},所以∁U(A∪B)={x|x≤-1}.

怎样求阴影部分所表示的集合?

提示:先用集合间的关系和集合的运算表示阴影,再根据集合运算求解.

利用集合的运算求参数

【典例】1.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.4

2.已知集合A={x|a-1<x<2a+1},B={x|3<x<7},若A∩B=A,则实数a的取值范围为(　　)

世纪金榜导学号

A.(-∞,-2)   B.(-∞,-2]

C.(-2,+∞)   D.[-2,+∞)

【解析】1.选D.由题意可知{a,a2}={4,16},所以a=4.

2.选B.因为A∩B=A,所以A⊆B,

当A=∅时,a-1≥2a+1,解得a≤-2;

当A≠∅时,有不等式组无解.

综上所述,实数a的取值范围是(-∞,-2].

当A⊆B,讨论集合A时容易忽视哪种情况?

提示:容易忽视A=∅的情况.

1.设集合M={x|x<4},集合N={x|x2-2x<0},则下列关系中正确的是 (　　)

A.M∪N=M     B.M∪(∁RN)=M

C.N∪(∁RM)=R    D.M∩N=M

【解析】选A.因为M={x|x<4},N={x|0<x<2},所以M∪N={x|x<4}=M,A正确;

M∪∁RN =R≠M,B错误;

N∪(∁RM)={x|0<x<2}∪{x|x≥4}≠R,C错误;

M∩N={x|0<x<2}=N,D错误.

2.(2019·西安模拟)设集合A={x|x2-3x+2≥0},B={x|x≤2,x∈Z},则(∁RA)∩B=

(　　)

A.{1}   B.{2}   C.{1,2}   D.∅

【解析】选D.A={x|x≤1或x≥2},

则∁RA={x|1<x<2}.

又集合B={x|x≤2,x∈Z},所以(∁RA)∩B=∅.

3.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是 (　　)

A.-1<a≤2   B.a>2

C.a≥-1    D.a>-1

【解析】选D.由A∩B≠∅知,集合A,B有公共元素,作出数轴,如图所示:

易知a>-1.

已知集合A={(x,y)|x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为

(　　)

A.77   B.49   C.45   D.30

【解析】选C.集合A表示如图所示的所有“”,集合B表示如图所示的所有“”+所有“”,集合A⊕B显然是集合{(x,y)||x|≤3,|y|≤3,x,y∈Z}中除去四个点(-3,-3),(-3,3),(3,-3),(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点),则集合A⊕B表示如图所示的所有“”+所有“”+所有“·”,共45个.故A⊕B中元素的个数为45.

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