2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.5 椭圆 学案
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核心考点·精准研析
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是 ( )
A.2 B.6 C.4 D.12
3.椭圆+=1的左焦点为F,直线x=t与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )
A. B. C. D.
4.过点(,-),且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 世纪金榜导学号( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
5.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是________. 世纪金榜导学号
【解析】1.选A.由折叠过程可知,点M与点F关于直线CD对称,故|PM|=|PF|,所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=r,又显然|OM|>|OF|,由椭圆的定义可知,点P的轨迹为椭圆.
2.选C.如图,设椭圆+y2=1的另一个焦点为F2,
则F2在BC上,即|BC|=|BF2|+|F2C|,
又因为B,C都在椭圆+y2=1上,
所以|BA|+|BF2|=|CA|+|CF2|=2a=2,
于是,△ABC的周长为|BA|+|BC|+|CA|
=|BA|+|BF2|+|F2C|+|CA|=4.
3.
选C.如图,设右焦点为F',连接MF',NF',
△FMN的周长为
|FM|+|FN|+|MN|=4-(|MF'|+|NF'|-|MN|),
所以当|MF'|+|NF'|-|MN|最小时,周长最大,
因为|MF'|+|NF'|≥|MN|,
所以当直线x=t过右焦点时,△FMN的周长最大.
又c==1,
所以把x=1代入椭圆标准方程,得+=1,
解得y=±,
所以此时△FMN的面积S=2××2×=.
4.选C.(方法一:定义法)椭圆+=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=+,解得a=2,
由c2=a2-b2,可得b2=4,
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(方法二:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(k<9),将点(,-)代入,可得+=1,解得k=5或k=21(舍),所以所求椭圆的标准方程为+=1.
(方法三:待定系数法)设所求椭圆方程为+=1(a>b>0).由题意得解得所以所求椭圆的标准方程为+=1.
5.设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).
由题意知解得a2=16,b2=12,所以椭圆C的方程为+=1.
答案:+=1
1.椭圆定义的应用
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积,弦长、最值和离心率等.
(2)椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|.
2.焦点三角形的结论
椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点F1,F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.
(1)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(2)焦点三角形的周长为2(a+c).
(3)=|PF1||PF2|sin θ=b2 tan=c|y0|,当|y0|=b,即P为短轴端点时,取得最大值,为bc.
3.求椭圆的标准方程的方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.
(2)利用定义法求椭圆方程,要注意条件2a>|F1F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置),再定量,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)的形式.
4.利用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤
考点二 弦及弦中点问题
【典例】1.已知椭圆+y2=1,过点P且被P点平分的弦所在直线的方程为________.
2.焦点是F(0,5),并截直线y=2x-1所得弦的中点的横坐标是的椭圆的标准方程为______________. 世纪金榜导学号
【解题导思】
序号 | 联想解题 |
1 | 一看到弦的中点(即中点弦)问题,即联想到点差法 |
2 | 当题目中出现弦的中点并出现中点的横坐标(或纵坐标)时,立即想到点差法(也可考虑联立方程) |
【解析】1.设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为(x0,y0),则有
两式作差得+(y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,=kAB,代入后求得kAB=-=-,所以弦所在直线的方程为y-=-,即x+3y-2=0.
答案:x+3y-2=0
2.设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0),直线被椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意,可得弦AB的中点坐标为,
且=,=-.
将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得
两式相减并化简,
得=-×=-2×=3,
所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,
所以a2=75,b2=25,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
答案:+=1
1.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略
常见类型 | 解决策略 |
①过定点,定点为弦中点; ②平行弦中点的轨迹; ③过定点的弦的中点轨迹 | 根与系数的关系:直线与椭圆方程联立,消元,利用根与系数的关系表示中点坐标 |
点差法:利用弦两端点适合椭圆方程,作差构造中点与斜率的关系 |
2.椭圆中弦及弦中点问题的注意事项
(1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x.
(2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来.
(3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.
1.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆C:+y2=1交于不同的两点A,B,AB中点横坐标为,则k=________.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0,因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以Δ>0,x1+x2=,所以==,整理得k2=,所以k=±.
答案:±
2.已知直线y=x+m被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为________.
【解析】设线段的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0,y0),则x0=,y0=+m,x1+x2=2x0=,
y1+y2=2y0=+2m,则有
两式作差得2(x1+x2)(x1-x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即k==-=-=1,解得m=-,所以y0=+=-.
答案:-
考点三 椭圆的简单几何性质
命 题 精 解 读 | 考什么:(1)考查椭圆的顶点、离心率及直线与椭圆中的最值范围问题. (2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合等【思想方法】. 怎么考:结合椭圆定义及三角形性质(例如中位线)等考查离心率;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题. 新趋势:椭圆离心率的求解仍是考查的重点. |
学 霸 好 方 法 | 1.离心率的求解 借助条件建立a,b,c关系或利用特殊值法求解. 2. 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题. |
求椭圆的离心率
【典例】(2020·泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴上,∠PF1F2=30°,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2.因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线,所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°,因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=
2|PF2|,由勾股定理得|F1F2|=,由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,即a=,2c=|F1F2|=|PF2|,即c=,则e==·=.
如何求椭圆离心率?
提示:解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式.
最值、取值范围问题
【典例】(2019·重庆模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的方程. 世纪金榜导学号
(2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当·取得最大值时,求△MAB的面积.
【解析】(1)由题意可得:a=2,=,得c=,则b2=a2-c2=2.所以椭圆C:+=1.
(2)当直线l与x轴重合时,不妨取A(-2,0),B(2,0),此时·=0;
当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为:x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立得(t2+2)y2+2ty-3=0,
显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=.
所以·=(x1+2)(x2+2)+y1y2
=(ty1+3)(ty2+3)+y1y2=(t2+1)y1y2+3t(y1+y2)+9
=(t2+1)+3t+9
=+9=+9=.
当t=0时,·取最大值.此时直线l方程为x=1,不妨取A,B,所以|AB|=.
又|MN|=3,所以△MAB的面积S=××3=.
如何求解范围、最值问题?
提示:(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到一个图形.
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式,如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1.
(3)最值问题,将所求列出表达式,构造基本不等式或利用函数单调性求解.
1.(2020·江南十校联考)我国自主研制的月球探测器——“嫦娥四号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥四号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球的半径为R,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,(如图所示),则“嫦娥四号”卫星轨道的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.根据题意知,卫星近地点、远地点离地面的距离分别是,.设椭圆的长半轴长、半焦距分别为a,c,则a==,c==--R=R,则e===.
2.(2020·烟台模拟)已知F(2,0)为椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,过F且垂直于x轴的弦长为6,若A(-2,),点M为椭圆上任一点,则|MF|+|MA|的最大值为________.
【解析】设椭圆的左焦点为F',由椭圆的右焦点为F(2,0),得c=2,又过F且垂直于x轴的弦长为6,即=6,则==3,
解得a=4,所以|MF|+|MA|
=8-|MF'|+|MA|=8+|MA|-|MF'|,
当M,A,F'三点共线时,|MA|-|MF'|取得最大值,
(|MA|-|MF'|)max=|AF'|=,所以|MF|+|MA|的最大值为8+.
答案:8+
已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上一点,△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形,且60°<∠PF1F2<120°,则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.由题意可得|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-
2|F1F2|·|PF1|cos∠PF1F2=4c2+4c2-2·2c·2c·
cos∠PF1F2,即|PF2|=2c·,
所以a==c+c·,
又60°<∠PF1F2<120°,所以-<cos∠PF1F2<,所以2c<a<(+1)c,则<<,即<e<.
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