2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析10.8.1 求曲线的方程 学案
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核心考点·精准研析
考点一 直接法求轨迹方程
【典例】已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).
(1)求△ABC外接圆的标准方程.
(2)若过定点P的直线与△ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.
【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,
kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.由得所以△ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故△ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.
(2)设弦EF的中点为M(x,y),△ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),由MN⊥MP,得·=0,
所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,
整理得x2+y2-3x-y+2=0,
故弦EF中点的轨迹方程为+=.
直接法求轨迹方程的思路
(1)直接法就是直接利用条件建立x,y之间的关系f(x,y)=0.
(2)直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.
(3)通常将直接法的步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系,则可省去建系这一步,求出曲线的方程后,还需注意检验方程的纯粹性和完备性.
1.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为 ( )
A.x2=4y B.y2=3x C.x2=2y D.y2=4x
【解析】选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).
因为·=·,
所以(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
2.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为________.
【解析】因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,
所以点B的坐标为(1,-1).
设点P的坐标为(x,y),
由题意得·=-,
化简得x2+3y2=4(x≠±1).
故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x≠±1).
答案:x2+3y2=4(x≠±1)
考点二 定义法求轨迹方程
【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程. 世纪金榜导学号
2.如图,已知△ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1,动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.
【解析】1.如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|.
又|MA|=|MB|,
所以|MC2|-|MC1|
=|BC2|-|AC1|=3-1=2,
即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,
且2<|C1C2|=6,|MC2|>|MC1|,
故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),
则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|
=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(除去与x轴的交点).设曲线M:+=1(a>b>0,y≠0),则a2=4,b2=a2-=3,
所以曲线M的方程为+=1(y≠0).
1.定义法
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知的曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.
2.定义法的适用范围
若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.
△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.
【解析】如图,令内切圆与三边的切点分别为D,E,F,可
知|AD|=|AE|=8,
|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,
所以|CA|-|CB|=|AE|-|BE|=8-2=6<|AB|=10.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支(除去与x轴的交点),其方程为-=1(x>3).
答案:-=1(x>3)
考点三 待定系数法求轨迹方程
【典例】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点(2,)在C上,求C的方程. 世纪金榜导学号
【解析】 由题意有=,+=1,解得a2=8,b2=4,所以C的方程为+=1.
1.待定系数法
待定系数法是根据已知条件,建立起给定的算式和所求的结果之间的恒等式,得到以需要待定的系数为未知数的方程或方程组,解方程或方程组得到待定的系数的一种数学方法.
2.待定系数法解题的基本步骤
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决.
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到直线x=-的距离为3,求椭圆的标准方程.
【解析】设F(c,0),根据题意得 解得
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
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