2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析12.3统计与概率 学案

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核心考点·精准研析

考点一　抽样方法与概率的综合问题  

1.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展,“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度,随机调查了40个用户,得到用户的满意度评分如下:

用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本,且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.

(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据;

(2)计算所抽到的10个样本的均值和方差s2;

(3)在(2)条件下,若用户的满意度评分在之间,则满意度等级为“A级”.试应用样本估计总体的思想,估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少?(精确到0.1%)

参考数据:≈5.48,≈5.74,≈5.92.

2.十九大报告提出:坚决打赢脱贫攻坚战,做好精准扶贫工作.某帮扶单位帮助贫困村种植蜜柚,并利用互联网电商渠道进行销售.为了更好地销售,现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重,其质量分布在区间[1 500,3 000]内(单位:克),根据统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示:              世纪金榜导学号

(1)按分层抽样的方法从质量落在[1 750,2 000),

[2 000,2 250)的蜜柚中随机抽取5个,再从这5个蜜柚中随机抽2个,求这2个蜜柚质量均小于2 000克的概率.

(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售,某电商提出两种收购方案:

A.所有蜜柚均以40元/千克收购;

B.低于2 250克的蜜柚以60元/个收购,高于或等于2 250克的以80元/个收购.

请你通过计算为该村选择收益最好的方案.

【解析】1.(1)由题意得,通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本,则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.

(2)由(1)中的样本评分数据可得=

=83,

则s2=[+++++++ ++]=33.

(3)由题意知评分在,即之间满意度等级为“A级”,

由(1)中容量为10的样本评分在之间有5人,则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为×100%=50.0%.

另解:由题意知评分在,即之间满意度等级为“A级”,从调查的40名用户评分数据中在共有21人,则该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比约为×100%=52.5%.

2.(1)由题得蜜柚质量在[1 750,2 000)和[2 000,2 250)的比例为2∶3,所以分别抽取2个和3个.记抽取质量在[1 750,2 000)的蜜柚为A1,A2,质量在[2 000,

2 250)的蜜柚为B1,B2,B3,

则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种:

A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,其中质量都小于2 000克的仅有A1A2这1种情况,故所求概率为.

(2)方案A好,理由如下:

由频率分布直方图可知,蜜柚质量在[1 500,1 750)的频率为250×0.000 4=0.1,

同理,蜜柚质量在[1 750,2 000),[2 000,2 250),[2 250,2 500),[2 500,

2 750),[2 750,3 000] 的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05,

若按方案A收购:根据题意各段蜜柚个数依次为500,500,750,2 000,1 000,250,

于是总收益为

×500+×500+×750+×

2 000+×1 000+×250×40÷1 000=457 500 (元),

若按方案B收购:因为蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.1+0.1+0.15)×5 000

=1 750,

蜜柚质量高于或等于2 250克的个数为5 000-1 750

=3 250,

所以收益为1 750×60+3 250×80=365 000元,

所以方案A的收益比方案B的收益高,应该选择方案A.

　抽样方法与概率的综合问题的要求

(1)熟悉三种抽样方法的特点,掌握总体容量与样本容量的概念,正确运用扇形图、条形图中的数据.

(2)了解频率与概率的关系,解决统计与概率的综合问题.

考点二　统计与概率在实际的决策问题中的应用 

【典例】十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领农村地区人民群众脱贫奔小康,扶贫办计划为某农村地区购买农机机器,假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案:

方案一:每台机器售价7 000元,三年内可免费保养2次,超过2次每次收取保养费200元;

方案二:每台机器售价7 050元,三年内可免费保养3次,超过3次每次收取保养费100元.

扶贫办需要决策在购买机器时应该选取哪种方案,为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数,得下表:

记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数.

(1)用样本估计总体的思想,求“x不超过2”的概率.

(2)若y表示1台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和(单位:元),求选用方案一时y关于x的函数解析式.

(3)按照两种销售方案,分别计算这50台机器三年使用期内的总费用(总费用=售价+保养费),以每台每年的平均费用作为决策依据,扶贫办选择哪种销售方案购买机器更合算?

【解题导思】

【解析】(1)从题干表中可以看出50台机器保养次数不超过2次的台数共30台,故“x不超过2”的概率为P==0.6.

(2)当x≤2时,y=7 000 ;当x>2时,y=7 000+(x-2)×200=6 600+200x,故y关于x的函数解析式为

y=.

(3)在方案一中,这50台机器售价和保养总费用为50×7 000+14×200+4×200×2+2×200×3=355 600(元).

所以每台每年的平均费用为元.

在方案二中,这50台机器售价和保养总费用为 50×7 050+4×100+200×2

=353 300(元).

所以每台每年的平均费用为元.

因为>,

所以扶贫办应选择方案二更合算.

　实际问题的决策问题的解决方法

(1)利用统计中的平均数、方差、标准差的计算公式求得相应的平均数、方差、标准差等数据,根据平均数、方差、标准差的统计意义作出决策.

(2)利用古典概型、几何概型等概率公式求得相应概率,根据概率的意义作出决策.

生产甲乙两种精密电子产品,用以下两种方案分别生产出甲乙产品共3件,现对这两种方案生产的产品分别随机调查了100次,得到如下统计表:

①生产2件甲产品和1件乙产品

②生产1件甲产品和2件乙产品

已知生产电子产品甲1件,若为正品可盈利20元,若为次品则亏损5元;生产电子产品乙1件,若为正品可盈利30元,若为次品则亏损15元.

(1)按方案①生产2件甲产品和1件乙产品,求这3件产品平均利润的估计值.

(2)从方案①②中选其一,生产甲乙产品共3件,欲使3件产品所得总利润大于30元的机会多,应选用哪个?

【解析】(1)由题意得按方案①生产2件甲产品和1件乙产品的利润表为:

所以这3件产品平均利润的估计值为:

70×0.15+25×0.20+45×0.16+0×0.31+20×0.10

+(-25)×0.08=22.70.

(2)方案①生产的2件甲产品和1件乙产品所得总利润大于30元的情形有70,45,频率是:0.15+0.16=0.31,

方案②生产1件甲产品和2件乙产品所得总利润大于30元的情形有80,55,35,

频率是:0.08+0.10+0.20=0.38,

因为0.38>0.31,所以选择方案②.

考点三　 用样本估计总体、统计案例与概率的综合问题  

用样本估计总体与概率的综合问题

【典例】为提倡节能减排,同时减轻居民负担,广州市积极推进“一户一表”工程.非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准:0.65元/度.“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取,其11月到次年4月起执行非夏季标准如下:

例如:某用户11月用电410度,采用合表电价收费标准,应交电费410×0.65=266.5元,若采用阶梯电价收费标准,应交电费200×0.61+(400-200) ×0.66+(410-400) ×0.91=263.1元.

为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果,随机调查了该市100户的11月用电量,工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中,最后10户的月用电量(单位:度)为:88、268、370、140、440、420、520、320、230、380.

(1)完成频率分布表,并绘制频率分布直方图;

(2)根据已有信息,试估计全市住户11月的平均用电量(同一组数据用该区间的中点值作代表).

(3)设某用户11月用电量为x度(x∈N),按照合表电价收费标准应交y1元,按照阶梯电价收费标准应交y2元,请用x表示y1和y2,并求当y2≤y1时,x的最大值,同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于75%的用户带来实惠?

【解析】(1)频率分布表如表所示:

频率分布直方图如图:

(2)该100户用户11月的平均用电量

=50×0.04+150×0.12+250×0.24+350×0.3+450×0.26+550×0.04=324(度),所以估计全市住户11月的平均用电量为324度.

(3)y1=0.65x,

y2=

由y2≤y1得或或,解得x≤≈423.1,因为x∈N,故x的最大值为423. 根据频率分布直方图,x≤423的频率为0.04+0.12+0.24+0.3+23×0.26÷100=0.759 8>0.75,故估计“阶梯电价”能给不低于75%的用户带来实惠.

如何解决用样本估计总体与概率的综合问题?

提示:(1)认真读取题中所给的信息,应用频率、平均数、方差的计算公式,求得结果.

(2)结合古典概型概率公式求解相关概率问题.

独立性检验与概率的综合问题

【典例】为推进“千村百镇计划”,某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动,首批投放200台P型新能源车到新余多个村镇,供当地村民免费试用三个月.试用到期后,为了解男、女试用者对P型新能源车性能的评价情况,该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表(满分为100分).最后该公司共收回600份评分表,现从中随机抽取40份(其中男、女的评分表各20份)作为样本,经统计得到如下茎叶图:              世纪金榜导学号

(1)求40个样本数据的中位数m.

(2)已知40个样本数据的平均数a=80,记m与a的较大值为M.该公司规定样本中试用者的“认定类型”:评分不小于M的为“满意型”,评分小于M的为“需改进型”.

① 请根据40个样本数据,完成下面2×2列联表:

并根据2×2列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“认定类型”与性别有关?

② 为做好车辆改进工作,公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法,从中抽取8人进行回访.根据回访意见改进车辆后,再从这8人中随机抽取2人进行二次试用,求这2人中至少有一位女性的概率是多少?

附:K2=

【解析】(1)由茎叶图知中位数m==81.

(2)因为m=81,a=80,

所以M=81.

①由茎叶图知,女性试用者评分不小于81的有15个,男性试用者评分不小于81的有5个,

根据题意得2×2列联表:

可得:K2==10>6.635,

所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“认定类型”与性别有关.

②由①知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法,抽出女性2名,男性6名.

记抽出的2名女性为;A,B;记抽出的6名男性为:a,b,c,d,e,f.

从这8人中随机抽取2人进行二次试用的情况有:(A,B)(A,a)(A,b)(A,c)(A,d)(A,e)(A,f)(B,a)(B,b)(B,c)(B,d)(B,e)(B,f)(a,b)(a,d)(a,e)(a,c)(a,f)(b,c)(b,d)(b,e)(b,f)(c,d)(c,e)(c,f)(d,e)(d,f)(e,f),共有28种,

其中2人中至少一名女性的情况有:(A,B)(A,a)(A,b)(A,c)(A,d)(A,e)(A,f)(B,a)(B,b)(B,c)(B,d)(B,e)(B,f),共有13种:

所以2人中至少一名女性的概率是:P=.

如何解决独立性检验与概率的综合问题?

提示:(1)利用题中所给的茎叶图等数据信息,求出2×2列联表中的数据,根据卡方公式求出卡方值,与参考数据比较后作出判断.

(2)利用题中数据列出基本事件空间,及事件A所包含的基本事件,根据古典概型公式求得概率.

线性回归与概率的综合问题

【典例】某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现,每回馈消费者一定的点数,该商品当天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表格:              世纪金榜导学号

(1)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y(百件)与该天返还点数x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程=x+,并预测若返回6个点时该商品当天销量.

(2)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:

将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.

(参考公式及数据:①回归方程=x+,其中=,=-;

②xiyi=18.8.)

【解析】(1)易知==3,

==1.04,

xi2=12+22+32+42+52=55 ,

===0.32,=-=1.04-0.32×3=0.08,

则y关于x的线性回归方程为=0.32x+0.08,

当x=6时,y=2.00,即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.

(2)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人,从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人,

由分层抽样的定义可知==,解得x=2,y=4.在抽取的6人中,2名“欲望膨胀型”消费者分别记为A1,A2,4名“欲望紧缩型”消费者分别记为B1,B2,B3,B4,则所有的抽样情况如下:

{A1,A2,B1},{A1,A2,B2},{A1,A2,B3},{A1,A2,B4},{A1,B1,B2},{A1,B1,B3},{A1,B1,B4},{A1,B2,B3},{A1,B2,B4},{A1,B3,B4},{A2,B1,B2}{A2,B1,B3},{A2,B1,B4},{A2,B2,B3}{A2,B2,B4},{A2,B3,B4},{B1,B2,B3},{B1,B2,B4},{B1,B3,B4},{B2,B3,B4}共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况有16

种,记事件A为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”,则P(A)==0.8.

如何解决线性回归与概率的综合问题?

提示:(1)读取题中信息,求得线性回归系数,写出线性回归方程,作出相对应的数据预测值.

(2)利用古典概型、几何概型的概率公式求得概率.

1.我们知道,地球上的水资源有限,爱护地球、节约用水是我们每个人的义务和责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的标准,为此,对全市家庭日常用水的情况进行抽样调查,并获得了n个家庭某年的用水量(单位:立方米),统计结果如表所示.

(1)分别求出n,a,b的值.

(2)若以各组区间中点值代表该组的取值,试估计全市家庭年均用水量.

(3)从样本中年用水量在[50,60](单位:立方米)的5个家庭中任选3个,作进一步跟踪研究,求年用水量最多的家庭被选中的概率(5个家庭的年用水量都不相等).

【解析】(1)用水量在[20,30)内的频数是50,频率是0.025×10=0.25,则n==200.

用水量在[0,10)内的频率是=0.125,

则b==0.012 5.

用水量在[50,60]内的频率是=0.025,

则a==0.002 5.

(2)估计全市家庭年均用水量为5×0.125+15×0.19+25×0.25+35×0.23+45×0.18+55×0.025

=5×(0.125+0.57+1.25+1.61+1.62+0.275)

=5×5.45=27.25.

 (3)设A,B,C,D,E代表年用水量从多到少的5个家庭,从中任选3个,总的基本事件为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE共10个,其中包含A的有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE共6个.所以P==.即年用水量最多的家庭被选中的概率是.

2.气象部门提供了某地今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下:

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,Y,Z数据不清楚,但气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于32 ℃的频率为0.9.

某水果商根据多年的销售经验,统计了六月份的日最高气温t (单位:℃)对西瓜的销售影响如下表:

(1) 求Y,Z 的值.

(2) 若把频率作为概率,求六月份西瓜日销售额不小于5千元的概率.

【解析】(1)由已知得P=0.9,

所以P=1-P=0.1,

所以Z=30×0.1=3,Y=30-6-12-3=9.

(2)由已知条件可得六月份西瓜日销售额不小于5千元对应日最高气温大于

22 ℃,所以所求的概率为0.4+0.3+0.1=0.8.

某中学在校就餐的高一年级学生有440名,高二年级学生有460名,高三年级学生有500名;为了解学校食堂的服务质量情况,用分层抽样的方法从中抽取70名学生进行抽样调查,把学生对食堂的“服务满意度”与“价格满意度”都分为五个等级: 1级(很不满意);2级(不满意);3级(一般);4级(满意);5级(很满意),其统计结果如下表(服务满意度为x,价格满意度为y).

(1)求高二年级共抽取学生人数.

(2)求“服务满意度”为3时的5个“价格满意度”数据的方差.

(3)为提高食堂服务质量,现从x<3且2≤y<4的所有学生中随机抽取两人征求意见,求至少有一人的“服务满意度”为1的概率.

【解析】(1)共有1 400名学生,高二年级抽取的人数为×70=23(人).

(2)“服务满意度为3”时的5个数据的平均数为=6,

所以方差s2==4.4.

(3)符合条件的所有学生共7人,其中“服务满意度为2”的4人记为a,b,c,d,“服务满意度为1”的3人记为x,y,z.

在这7人中抽取2人有如下情况:

(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(a,z)

(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(b,z)

(c,d),(c,x),(c,y),(c,z)

(d,x),(d,y),(d,z)

(x,y),(x,z),(y,z)共21种情况,

其中至少有一人的“服务满意度为1”的情况有15种.所以至少有一人的“服务满意度”为1的概率为P==.

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