2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十章第六节　空间直角坐标系及空间向量的线性运算

第六节　空间直角坐标系及空间向量的线性运算

一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念

1.空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系

以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.

(2)右手直角坐标系

在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.

(3)空间一点M的坐标

空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.

2.空间两点间的距离公式、中点公式

(1)距离公式

①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则

|AB|=.

②点P(x,y,z)与坐标原点O之间的距离为

|OP|=.

(2)中点公式

设点P(x,y,z)为线段P1P2的中点,

其中P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则有

3.空间向量的有关概念

概念理解

(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.

(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称为直线l的方向向量,与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为

(4)共线向量定理中a∥b⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b≠0.

(5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量.

二、数量积与坐标运算

1.数量积及相关概念

(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=,则称向量a与b互相垂直,记作a⊥b.若<a,b>=0,则称向量a与b同向共线,若<a,b>=π,则称向量a与b反向共线.

(2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b的数量积,记作 a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.

2.两个向量数量积的性质和结论

已知两个非零向量a和b.

(1)a·e=|a|cos<a,e>(其中e为单位向量).

(2)a⊥b⇔a·b=0.

(3)cos<a,b>=.

(4)a2=a·a=|a|2,|a|=.

(5)|a·b|≤|a||b|.

3.空间向量数量积的运算律

(1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b).

(2)交换律:a·b=b·a.

(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.

4.向量坐标的定义

设i,j,k为空间三个两两垂直的单位向量,如果=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量的坐标.

5.空间向量运算的坐标表示

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么

(1)加、减运算:a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2).

(2)数量积:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

(3)夹角公式:cos<a,b>=.

(4)模长公式:|a|==.

(5)数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R).

(6)平行的充要条件:a∥b⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).

(7)垂直的充要条件:a⊥b⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.

1.概念理解

(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.

(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致.

(3)向量的坐标是终点坐标减去起点坐标.

(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.

2.与数量积及坐标运算相关联的结论

(1)表示单位向量.

(2)|a|2=a·a.

(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).

1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若=2x+3y+3z,则x+y+z等于(　D　)

 (A) (B) (C) (D)

解析:因为=+-,

所以所以所以x+y+z=.故选D.

2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(　A　)

(A)5 (B)6 (C)4 (D)8

解析:设=a,=b,=c,

则=a+b+c,

=(a+b+c)2

=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a

=25,

因此||=5.故选A.

3.在空间四边形ABCD中,·+· +·等于(　B　)

(A)-1 (B)0

(C)1   (D)不确定

解析:

如图,令=a,=b,=c,

则·+·+·

=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)

=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a

=0.

考点一　空间直角坐标系

[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|=　　　　;点A到坐标平面yOz的距离是　　　　. 

解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,

得|OA|==3.

因为A(1,2,2),

所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.

答案:3　1

(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标

(2)两点间距离公式的应用

①求两点间的距离或线段的长度;

②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;

③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.

设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为(　A　)

(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)

(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)

解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.

考点二　空间向量的线性运算

[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.

解:=+

=+

=+(-)

=+[(+)-]

=++.

=-

=-

=++-

=-++.

(1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用,,表示,等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.

(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.

如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且分MN所成的比为2,现用基向量,,表示向量,设=x+y+z,则x,y,z的值分别是(　D　)

(A)x=,y=,z=

(B)x=,y=,z=

(C)x=,y=,z=

(D)x=,y=,z=

解析:设=a,=b,=c,

因为G分MN所成的比为2,

所以=,

所以=+=+(-)

=a+(b+c-a)

=a+b+c-a

=a+b+c,

即x=,y=,z=.

考点三　空间向量的数量积与坐标运算

[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=,b=,

(1)求a和b的夹角θ的余弦值;

(2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直,求k的值.

解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=,b=,

所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2).

(1)cos θ===-,

所以a和b的夹角θ的余弦值为-.

解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),

ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),

所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=0.

解得k=-或k=2.

(1)求空间向量数量积的方法

①定义法.设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ;

②坐标法.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算.

(2)数量积的应用

①求夹角.设非零向量a,b的夹角为θ,则cos θ=,进而可求两异面直线所成的角;

②求长度(距离).运用公式|a|2=a·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;

③解决垂直问题.利用a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.

1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD中,E,F分别为直线AB,CD上的动点,且|EF|=.若记EF中点P的轨迹为L,则|L|等于　　　　.(注:|L|表示L的测度,在本题,L为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积) 

解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为,建立如图所示的空间直角坐标系,

设E(0,y1,y1),F(,y2,-y2),P(x,y,z),

|EF|==,

即(y1-y2)2+(y1+y2-)2=1,

又

即

代入上式得(2z-)2+(2y-)2=1,

即(y-)2+(z-)2=,即P的轨迹为半径为的圆,周长为|L|=2πr=π.

答案:π

2.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,M为BC的中点,则△AMD是(　C　)

(A)钝角三角形 (B)锐角三角形

(C)直角三角形 (D)不确定

解析:因为M为BC的中点,

所以=(+).

所以·=(+)·

=·+·

=0.

所以AM⊥AD,即△AMD为直角三角形.

考点四　易错辨析

[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是(,,0),点D在平面yOz内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.

(1)求的坐标;

(2)设和的夹角为θ,求cos θ的值.

解:(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E.在Rt△DCB中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.

所以DE=CDsin 30°=.

OE=OB-BDcos 60°=1-=.

所以D点坐标为(0,-,),

即的坐标为(0,-,).

解:(2)依题意,=(, ,0),

=(0,-1,0), =(0,1,0),

所以=-=(-,-1, ),

=-=(0,2,0).

由和的夹角为θ,得

cos θ=

=

=-.

所以cos θ=-.

解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:

(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误.

(2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.

类型一　空间直角坐标系

1.在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,设=a, =b, =c,则可表示为(　A　)

(A)a+c-b (B)a+2b-c

(C)b+c-a (D)a+c-2b

解析:因为=a,=b,=c,

在▱ABCD中,=-=a-b,- ===a-b,

所以=+=a-b+c.故选A.

2.已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的(　B　)

(A)必要不充分条件

(B)充分不必要条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:当x=2,y=-3,z=2时,

即=2-3+2.

则-=2-3(-)+2(-),

即=-3+2,

根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;

反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,

设=m+n(m,n∈R),

即-=m(-)+n(-),

即=(1-m-n)+m+n,

即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.故选B.

3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则|b|=　　　　　. 

解析:因为a⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2,

故|b|==2.

答案:2

类型二　空间向量线性运算

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量-+化简后的结果是(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得-+=++=,故选A.

类型三　空间向量数量积及坐标运算

5.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点,则·的取值范围是(　D　)

(A)[-1,-] (B)[-,-]

(C)[-1,0]   (D)[-,0]

解析:

如图,以D1为原点,以D1C1,D1A1,D1D方向为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C1(1,0,0),P(x,y,0), =(-x,1-y,1), =(1-x,-y,0),

·=(x-)2+(y-)2-,(其中0≤x≤1,0≤y≤1),

所以·的取值范围是[-,0].

故选D.

6.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·的值为(　C　)

(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2

解析:·=(+)·

=(·+·)=(a2cos 60°+a2cos 60°)=a2.故选C.

7.在四棱锥P-ABCD中,=(4,-2,3),=(-4,1,0),

=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于(　B　)

(A)1 (B)2 (C)13 (D)26

解析:设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则

⇒

令y=4,则n=(1,4,),

则h===2.故选B.

8.=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2)(其中O为坐标原点),点Q在OP上运动,当·取最小值时,点Q 的坐标为(　C　)

(A)( ,,) (B)( ,,)

(C)( ,,) (D)( ,,)

解析:设=λ=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ),

则=(1-λ,2-λ,3-2λ), =(2-λ,1-λ,2-2λ),

·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)

=6λ2-16λ+10

=6(λ-)2-.

当λ=时,·取得最小值,此时Q(,,).

故选C.

9.A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是(　B　)

(A)钝角三角形 (B)锐角三角形

(C)直角三角形 (D)不确定

解析:·=(-)·(-)

=·-·-·+

=>0,

所以cos∠DBC>0,∠DBC为锐角,

同理∠BDC,∠BCD为锐角.

所以△BCD为锐角三角形,故选B.