2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第十章第一节　简单几何体的结构、三视图和直观图

第一节　简单几何体的结构、三视图和直观图

一、多面体的结构特征

1.概念理解

(1)多面体是多个面围成的几何体,一般具有底面、侧面、棱、顶点.

(2)棱台是由棱锥截出来的,所以棱台问题一般“还原”为棱锥来解决.

(3)对概念的理解辨析,往往通过举反例的方法进行.

2.与多面体知识相关联的结论

(1)最简单的多面体是四面体即三棱锥.

(2)棱台的侧棱延长后必交于一点.

二、旋转体的形成

1.概念理解

(1)旋转体都有一个旋转轴,与轴垂直的线段旋转形成底面,不与轴垂直的线叫母线,母线旋转形成侧面.

(2)圆台是由圆锥截出来的,所以圆台问题一般“还原”为圆锥解决.

2.与旋转体应用相关联的结论

(1)圆台的母线延长后应交于一点.

(2)球的内接长方体中,直径长等于长方体体对角线的长.

(3)球内切于正方体中,则球的直径等于正方体的棱长.

(4)球与正方体的棱相切时,球的直径等于正方体的面对角线长.

三、空间几何体的三视图与直观图

1.空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到的,它包括正视图、侧视图、俯视图,其画法规则是长对正、高平齐、宽相等.

2.空间几何体的直观图的画法

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,基本步骤是

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′=45°(或135°),已知图形中平行于x轴、y轴的线段,在直观图中平行于x′轴、y′轴.已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于y轴的线段,长度变为原来的一半.

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面,在直观图中对应的z′轴,也垂直于x′O′y′平面,已知图形中平行于z轴的线段,在直观图中仍平行于z′轴且长度不变.

1.概念理解

(1)画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线.

(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、左方、上方观察几何体得到的正投影.

(3)斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

2.与三视图、直观图相关联的结论

(1)球的三个视图都相同.

(2)空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.

(3)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积关系有S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.

1.如图为某平面图形用斜二测画法画出的直观图,则其原来平面图形的面积是(　A　)

(A)4 (B)4

(C)2 (D)8

解析:将直观图还原成原来的图形,由于直观图上的点的纵坐标是原来的一半,横坐标不变,所以原来的图形是底为2、高为4的直角三角形,由三角形面积公式,得S=×2×4=4.故选A.

2.将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到如图2所示的几何体,则该几何体的侧视图为(　B　)

解析:侧视图中能够看到线段AD1,应画为实线,而看不到B1C,应画为虚线.由于AD1与B1C不平行,投影为相交线,故选B.

3.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是(　C　)

(A)(1)是棱台 (B)(2)是圆台

(C)(3)是棱锥 (D)(4)不是棱柱

解析:图(1)不是由棱锥截来的,所以(1)不是棱台,A错;

图(2)上、下两个面不平行,所以(2)不是圆台,B错;

图(3)是棱锥,C正确;

图(4)前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以(4)是棱柱,D不正确.故选C.

4.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　B　)

解析:由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切.由于两球球心连线AB1与平面AA1C1C不平行,故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和,即两个投影圆相交,即为图B.故选B.

考点一　空间几何体的结构特征

[例1] 下列结论中正确的是(　　)

(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥

(B)以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是六棱锥

(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线

解析:

如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.故A错.

绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周所得几何体是圆锥,故B错.

若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.但以正六边形为底面的六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长.故C错,故选D.

解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧

(1)依据条件中几何体的结构特征构建几何模型,推测出具体的几何体.

(2)在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.

(3)通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.

下列命题中正确的个数是(　A　)

①由五个面围成的多面体只能是三棱柱;

②用一个平面去截棱锥便可得到棱台;

③仅有一组对面平行的五面体是棱台;

④有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥.

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

解析:①中,由五个面围成的多面体可以是四棱锥,所以不正确;②中,用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台;③中,仅有一组对面平行的五面体,可以是三棱柱;④中,有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥,故选A.

考点二　几何体的三视图

[例2] (2019·超级全能生)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是　　　　　cm3,表面积是　　　　　　cm2. 

解析:易知该几何体是一个底面为直角梯形,一条侧棱垂直底面的四棱锥,所以该几何体的体积V=××4=16(cm3),表面积为++++=(8+4+24)(cm2).

答案:16　(8+4+24)

三视图的画法要坚持以下原则

(1)高平齐,即几何体的高与正视图和侧视图的高相等;

(2)宽相等,即几何体的宽与侧视图和俯视图的宽相等;

(3)长对正,即几何体的正视图与俯视图的长度相等;

(4)看不见的轮廓线或棱要用虚线表示.

如图所示,将图①中的正方体截去两个三棱锥,得到图②中的几何体,则该几何体的侧(左)视图为(　B　)

解析:从几何体的左侧看,对角线AD1在视线范围内,故画为实线,右侧面的棱C1F不在视线范围内,故画为虚线,且上端点位于几何体上底面边的中点.故选B.

考点三　几何体的直观图

[例3] 已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)

(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2

解析:先画出正三角形ABC,然后再画出它的水平放置的直观图,如图所示,

由斜二测画法规则知B′C′=a,O′A′=a.

过A′作A′M⊥x′轴,垂足为M,

则A′M=O′A′·sin 45°=a×=a.

所以S△A′B′C′=B′C′·A′M=a×a=a2.故选D.

(1)对于几何体的直观图,一方面要掌握斜二测画法规则,注意线线平行关系的不变性及长度的变化特征;另一方面,若能了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′=S,还可以简化有关问题的计算.

(2)把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段长度变成原来的2倍.

用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y′轴,BC,AD平行于x′轴.已知四边形ABCD的面积为2 cm2,则原平面图形的面积为　　　　　cm2. 

解析:依题意可知∠BAD=45°,则原平面图形为直角梯形,上下底的长分别与BC,AD相等,高为梯形ABCD的高的 2 倍,所以原平面图形的面积为8 cm2.

答案:8

考点四　易错辨析

[例4] (2019·宁波模拟)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)

(A)+ (B) +

(C)1+ (D)1+

解析:

该几何体的立体图如图所示,可知几何体是由一个四分之一圆锥与三棱柱的组合体,由三视图可知三棱柱的底面三角形的两条直线边长分别为1和2,三棱柱高为1,四分之一圆锥底面半径为1,高为1,则组合体体积V=V三棱柱+V四分之一圆锥=×1×2×1+××1=1+.故选D.

三视图都是物体的正投影,因此解决三视图问题时,可以选择正方体的面为投影面,把几何体中的各顶点向投影面作垂线,连接垂足形成的图形来判断结果即可.

“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个

扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是(　B　)

解析:因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖),所以其正视图和侧视图是一个圆,因为俯视图是从上向下看,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形,故选B.

类型一　空间几何体的结构

1.给出下列几个命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;

②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;

③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是(　B　)

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线如果和旋转轴平行则是圆柱的母线,故命题是错的;②底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱,相邻两个侧面与底面垂直,就保证了侧棱和底面垂直,正棱柱的概念是:底面为正多边形的直棱柱,命题是正确的;③棱台的上、下底面一定是相似的,侧棱长不一定相等,棱台是由同底的棱锥截得的,故命题是错的.故正确的命题是②.故选B.

2.给出下列命题

①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶点;

②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;

③若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.

其中正确命题的序号是　　　　. 

解析:

①正确,如正方体ABCD-A1B1C1D1中的四面体A-CB1D1;②错,反例是底面ABC为等边三角形,可令AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正三棱锥;③错误,必须是相邻的两侧面.

答案:①

类型二　几何体的三视图

3.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为(　C　)

(A)2 (B) (C)2 (D)

解析:由题意得,该多面体为如图几何体,最长的棱长为AC==2,故选C.

4.一个侧面积为4π的圆柱,其正视图、俯视图是如图所示的两个边长相等的正方形,则与这个圆柱具有相同的正视图、俯视图的三棱柱的相应的侧视图可以为(　C　)

解析:三棱柱一定有两个侧面垂直,故只能是选项C中的图形.故选C.

5.如图正三棱柱(底面是各棱长均为2的正三角形且侧棱与底面垂直),其正视图如图所示,则此三棱柱侧视图的面积为(　D　)

(A)2 (B)4 (C) (D)2

解析:由直观图和正视图可知,该三棱柱的侧视图是一个矩形,两邻边长分别为棱柱的高2和底面三角形的高×2=,故侧视图的面积为2.故选D.

6.(2019·绍兴模拟)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为　　　　　,最长棱的长度为　　　　　. 

解析:由三视图可知该四棱锥的底面ABCD是边长为2的正方形,其中侧棱PB垂直于底面ABCD且PB=2,如图,所以四棱锥的体积V=S·h=×(2×2)×2=;最长棱的长PD==2.

答案:　2

7.(2019·温州模拟)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为　　　　cm3,表面积为　　　　cm2. 

解析:由图可知该几何体可分为一个长方体和两个相同的三棱柱,

所以V=1×1×2+2××1×1×1=3(cm3),

该几何体的表面积由两个相同的梯形和四个长方形组成,

其中最小的长方形的长为=(cm),

所以S=2××(2+4)×1+2×1+4×1+2××1

=(12+2)(cm2).

答案:3　(12+2)

类型三　空间几何体的直观图

8.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是(　B　)

(A)水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形

(B)平行四边形的直观图仍是平行四边形

(C)两条相交直线的直观图可能是平行直线

(D)两条垂直的直线的直观图仍互相垂直

9.某几何体的正视图和侧视图如图(1),它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图(2),其中O1A1=6,O1C1=2,则该几何体的侧面积为(　C　)

(A)48 (B)64 (C)96 (D)128

解析:由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱,

因为它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1,O1A1=6,O1C1=2,

所以它的俯视图的直观图面积为12,

所以它的俯视图的面积为24,

所以它的俯视图是边长为6的菱形,

棱柱的高为4,故该几何体的侧面积为4×6×4=96.

10.如图,△A′B′O′是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知 A′B′∥y′轴,O′B′=4,且△ABO的面积为16,过A′作A′C′⊥x′轴,则A′C′的长为(　A　)

(A)2 (B) (C)16 (D)1

解析:因为A′B′∥y′轴,

所以△ABO中,AB⊥OB.

又因为△ABO的面积为16,

所以AB·OB=16.

因为OB=O′B′=4,

所以AB=8,所以A′B′=4.

因为A′C′⊥O′B′于C′,

所以B′C′=A′C′,

所以A′C′=4·sin 45°=2,

故选A.