2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）知识梳理：第二章第一节　函数及其表示

第一节　函数及其表示复习目标学法指导1.(1)函数的概念.(2)函数符号y=f(x).(3)函数的定义域.(4)函数的值域.(5)区间的概念及其表示法.2.函数的表示法.(1)函数的解析法表示.(2)函数的图象法表示,描点法作图.(3)函数的列表法表示.(4)分段函数的意义与应用.(5)映射的概念.会求一些简单复合函数的值域,深刻理解函数的概念.1.明确自变量与函数值的对应特征是理解函数概念的根本.2.解决函数问题要树立“定义域优先”的意识, 求解的依据是“使f有意义”.3.分段函数是一个函数,其定义域与值域是各段的并集.4.求函数值域要充分利用函数的性质和图象.一、函数的概念与表示法1.函数的概念设A,B都是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数f(x)的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的值域,显然,值域是集合B的子集,函数的定义域、值域和对应关系构成了函数的三要素.2.函数的表示法(1)基本表示方法:解析法、图象法、列表法.(2)分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.1.概念理解(1)定义中集合B不一定是值域,因为B中可以存在不与A中自变量对应的元素,即不是函数值的多余元素.(2)当函数的定义域和对应关系确定后函数的值域也就确定了,所以函数的三要素中定义域和对应关系是关键.(3)函数的定义域与值域是非空的数集,所以必须用集合(或区间)表示.(4)函数的三种表示方法可以相互转化,尤其是解析法与图象法,二者相辅相成,构成了解决函数问题的重要思想方法——数形结合思想.2.与函数相关联的知识(1)相等函数:如果两个函数的三要素相同,则称两个函数为相等函数.显然只要两个函数的定义域与对应关系完全相同,它们就是相等函数.(2)抽象函数:一般是指没有给出函数的解析式及图象,仅用函数符号表示或仅给出函数的部分性质的函数.(3)复合函数:若y是u的函数,u又是x的函数,即y=f(u),u=g(x),x∈(a,b),u∈(m,n),那么y关于x的函数y=f[g(x)],x∈(a,b),叫做f和g的复合函数,u叫做中间变量,u的取值范围是g(x)的值域.二、映射设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射.1.概念理解映射与函数的区别只在于研究对象的不同,映射是针对任意的非空集合,不只是数集,两者对应关系的要求是完全一致的,所以函数是特殊的映射.2.与映射相关联的结论若集合A中有n个元素,B中有m个元素,则映射f:A→B的个数为mn个.1.下列四组函数中,表示相等函数的是(　D　)(A)f(x)=,g(x)=()2(B)f(x)=·,g(x)= (C)f(x)=2lg x,g(x)=lg x2(D)f(x)=xx≤11<x<2x≥2g(x)123解析:选项A中,f(x)=|x|(x∈R),g(x)=x(x≥0),两函数定义域不同;选项B中,由得f(x)的定义域为{x|x≥1},由x2-1≥0,得g(x)的定义域为{x|x≥1或x≤-1},两函数的定义域不同;选项C中,f(x)的定义域为 {x|x>0},g(x)的定义域为{x|x≠0},两函数定义域不同;选项D中,两个函数的定义域与对应关系都相同.2.若f(-3)的定义域为[6,+∞),则f(x+1)的定义域为(　A　)(A) [-1,+∞) (B)[0,+∞)(C)[17,+∞) (D)[19,+∞)解析:因为y=f(-3)的定义域为[6,+∞),所以y=f(x)的定义域为[0,+∞),对y=f(x+1),x+1≥0,x≥-1,所以f(x+1)的定义域为[-1,+∞),故选A.3.(2018·台州市路桥中学检测)若f(x)是一次函数, f[f(x)]=4x-1,则f(x)=　　　　. 解析:可设f(x)=kx+b,则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x-1,所以解得或故f(x)=2x-或f(x)=-2x+1.答案:2x-或-2x+14.(2018·金丽衢十二校联考)函数y=的定义域是　　　　,值域是　　　　. 解析:要使函数有意义,则3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故函数的定义域为[-3,1];设t=3-2x-x2,则t=3-2x-x2=-(x+1)2+4,则0≤t≤4,即0≤≤2,即函数的值域为[0,2].答案:[-3,1]　[0,2]5.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　　　. 解析:因为f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,所以1=log2(9+a),所以9+a=2,所以a=-7.答案:-76.有以下判断:①f(x)=与g(x)=表示相等函数.②函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点最多有1个.③若f(x)=|x-1|-|x|,则f=0.其中正确判断的序号是　　　　　. 解析:对于①,由于函数f(x)=的定义域为{x|x∈R且x≠0},而函数g(x)=的定义域是R,所以两者不是相等函数;对于②,若x=1不是y=f(x)定义域内的值,则直线x=1与y=f(x)的图象没有交点,若x=1是y=f(x)定义域内的值,由函数的定义可知,直线x=1与y=f(x)的图象只有一个交点,即y=f(x)的图象与直线x=1最多有一个交点;对于③,由于f=-=0,所以f=f(0)=1.综上可知,正确的判断是②.答案:②考点一　函数的定义域[例1] (1)(2018·台州路桥中学高三检测)下列各组函数是同一函数的是(　　)①f(x)=与g(x)=x;②f(x)=|x|与g(x)=;③f(x)=x0与g(x)=;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.(A)①②③ (B)①③④ (C)②③④ (D)①②④(2)已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)= 的定义域为　　　　. 解析:(1)①f(x)=与g(x)=x的定义域是{x|x≤0};而f(x)= =-x,故这两个函数不是同一函数;②f(x)=|x|与g(x)=的定义域都是R, g(x)==|x|,这两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故这两个函数是同一函数;③f(x)=x0与g(x)=的定义域是{x|x≠0},并且f(x)=g(x)=1,对应关系也相同,故这两个函数是同一函数;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1是同一函数.故选C.(2)由得所以-1<x<-或-<x≤,故函数g(x)的定义域为(-1,-)∪(-,].答案:(1)C　(2)(-1,-)∪(-,]求函数定义域的三种类型及求解策略(1)已知函数的解析式,构建使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)复合函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数 f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出.②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.(3)实际问题:既要使构建的函数解析式有意义,又要考虑实际问题的要求.提醒:如果所给解析式较复杂,切记不要化简后再求定义域.1.(2019·江苏卷)函数y=的定义域是　　　　. 解析:要使函数有意义,需7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,即(x+1)(x-7)≤0,解得-1≤x≤7.故所求函数的定义域为[-1,7].答案:[-1,7]2.已知函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是　　　　. 解析:x2-2ax+a≥0恒成立,Δ=4a2-4a≤0,得0≤a≤1.答案:[0,1]考点二　求函数的解析式[例2] (1)已知f(+1)=lg x,求f(x)的解析式;(2)f(x)是二次函数,f(0)=0,且f(x+1)+f(2x)=5x2-4x-1,求f(x);(3)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,求f(x)的解析式.解:(1)令+1=t得x=,代入得f(t)=lg,又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg (x>1).(2)设f(x)=ax2+bx,则f(x+1)+f(2x)=5ax2+(2a+3b)x+a+b=5x2-4x-1,得a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x.(3)2f(x)+f()=3x,①将x用替换,得2f()+f(x)=,②由①②解得f(x)=2x-(x≠0),即f(x)的解析式是f(x)=2x-(x≠0).求函数解析式常用方法(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式;(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法;(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;(4)方程思想:已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=　　　　. 解析:因为f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.又因为ln 2∈(0,1),所以-ln 2<0,所以f(-ln 2)=-e-aln 2=-f(ln 2)=-8.即e-aln 2=8.两边取以e为底的对数得-aln 2=3ln 2,所以a=-3.答案:-3考点三　分段函数的应用[例3] (1)(2018·舟山中学高三模拟)已知函数f(x)= 则f(1)=　　　　;若f(a)=2,则a=　　　　. (2)对任意两个实数x1,x2,定义max(x1,x2)=若f(x)=x2-2,g(x)=-x,则max(f(x),g(x))的最小值为　　　　. 解析:(1)f(1)=20=1,当a≥0时,2a-1=2,此时a=2;当a<0时,log2(-a)=2,此时a=-4,所以a=2或-4.(2)f(x)-g(x)=x2-2-(-x)=x2+x-2,令x2+x-2≥0,解得x≥1或x≤-2.当-2<x<1时,x2+x-2<0,即f(x)<g(x),所以max(f(x),g(x))= 作出图象,由图象可知函数的最小值在A处取得,所以最小值为f(1)=-1.答案:(1)1　2或-4　(2)-1分段函数应用的常见题型及求解策略常见题型求解策略求函数值问题根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求值,有时每段交替使用求值解方程或解不等式问题分类求出各子区间上的解,再将它们合并在一起,但要检验所求是否符合相应各段自变量的取值范围求最值或值域问题先求出每一个区间上的最值或值域,然后进行比较得出最大值、最小值,合并得出值域图象及其应用根据每段函数的定义区间和解析式在同一坐标系中作出图象,然后应用,作图时要注意每段图象端点的虚实(2019·天津卷)已知a∈R,设函数f(x)= 若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围为(　C　)(A)[0,1] (B)[0,2] (C)[0,e] (D)[1,e]解析:当x≤1时,因为f(x)=x2-2ax+2a≥0恒成立,而二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=a,所以当a≥1时,f(x)min=f(1)=1>0恒成立,当a<1时,f(x)min=f(a)=2a-a2≥0,所以0≤a<1.综上,a≥0.当x>1时,由f(x)=x-aln x≥0恒成立,即a≤恒成立.设g(x)= ,则g′(x)=.令g′(x)=0,得x=e,且当1<x<e时,g′(x)<0,当x>e时,g′(x)>0,所以g(x)min=g(e)=e,所以a≤e.综上,a的取值范围是0≤a≤e,即[0,e].故选C.考点四　易错辨析[例4] (2019·天津卷)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为(　　)(A)[,] (B)(,](C)(,]∪{1} (D)[,]∪{1}解析:如图,画出函数y=f(x)= 的图象.(1)先研究当0≤x≤1时,直线y=-x+a与y=2的图象只有一个交点的情况.当直线y=-x+a过点B(1,2)时,2=-+a,解得a=.所以0≤a≤.(2)再研究当x>1时,直线y=-x+a与y=的图象只有一个交点的情况:①相切时,由y′=-=-,得x=2,此时切点为(2,),则a=1.②相交时,由图象可知直线y=-x+a从过点A向右上方移动时与y=的图象只有一个交点.过点A(1,1)时,1=-+a,解得a=.所以a≥.结合图象可得,所求实数a的取值范围为[,]∪{1}.故选D.(1)没有用到数形结合思想,直接讨论方程组解的个数,从而使此题复杂化.(2)f(x)的图象作错,有可能是范围弄错,也有可能是本身知识结构以及对基本函数的图象了解没有到位.(3)没有注意到两种情况,特别是相切的情况.提醒:根据方程实根个数确定参数范围,常把其转化为曲线交点个数,特别是其中一条为直线时常用此法.(2018·金华十校高三期末)已知函数f(x)= 的最小值为a+1,则实数a的取值范围为　　　　. 解析:(1)若-a≤0,即a≥0时,f(x)=所以f(x)在(-∞,0]上单调递减,最小值为f(0)=2,在(0,+∞)上的最小值为a+1,故只需2≥a+1即可,解得0≤a≤1.(2)若0<-a≤1,即-1≤a<0时,则f(x)=所以f(x)在(-∞,0]上先减后增,最小值为f()=2-,在(0,+∞)上的最小值为a+1,故只需2-≥a+1即可,解得-2-2≤a≤-2+2,又因为-1≤a<0,所以-1≤a<0.(3)若-a>1,即a<-1时,则f(x)=所以f(x)在(-∞,0]上先减后增,最小值为f()=2-,在(0,+∞)上的最小值为-a-1>0,而f(x)的最小值为a+1<0,故只需令2-=a+1即可,解得a=-2-2或a=-2+2(舍去).综上,a的取值范围是{-2-2}∪[-1,1].答案:{-2-2}∪[-1,1]