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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十二章12.4二项分布与正态分布
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§12.4 二项分布与正态分布
最新考纲
考情考向分析
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念．
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用，高考中常以解答题的形式考查，难度为中高档.
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交.
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.
③曲线在x＝μ处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示.
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a
①P(μ－σ
1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示 不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．
2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( √ )
(4)正态分布完全由参数μ和σ确定，参数μ可用样本的均值去估计，σ可用样本的标准差去估计．( √ )
题组二 教材改编
2．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
答案 C
解析 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X
解析 ∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，
且P(X>2c－1)＝P(X
题组三 易错自纠
5．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为两人加工零件成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.
6．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100
解析 ∵考试的成绩X服从正态分布N(110,102)，
∴考试的成绩X关于X＝110对称，
∵P(100
∴该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50＝8.
条件概率
1．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．
由P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
答案
解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，
因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
独立重复试验与二项分布
命题点1 相互独立事件的概率
例1 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，
且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
P0＝P()＝P()·P()·P()
＝××＝，
有1个家庭回答正确的概率为
P1＝P(A＋B＋C)
＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
P＝1－P0－P1＝1－－＝.
命题点2 独立重复试验
例2 (2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和均值．
解 (1)记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，
其中A1：三次恰好都为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，
则k＝3的概率P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝C3＋C··C··C·＋C2·＝.
(2)由已知得ξ的所有可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，
P(ξ＝4)＝2＋C··＋C··＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
4
2
0
P
∴E(ξ)＝6×＋4×＋2×＋0×＝.
命题点3 二项分布
例3 (2020·全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
解 (1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
由＝，得n＝4，
故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
×＋×＝，
所以X～B，X的分布列为
P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝3×＝.
思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
跟踪训练1 (2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和均值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.
正态分布
例4 (2020·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P.
利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，
求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值．
参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4.
解 (1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.
(2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9,1.78)．
σ＝＝≈，
P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.773 4.
②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20,0.226 6)，
P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)
＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419
＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.
Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练2 (2020·唐山五校联考)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示．
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数)．
参考数据：≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 5.
解 (1)由题图可得μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X，
由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ
设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，
则Y～B(82,0.023)．
Y的均值E(Y)＝82×0.023≈2.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.
1．(2020·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是×＋×＝，故选D.
2．(2019·石家庄模拟)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在第一次摸到红球的条件下，第二次从3个球(2白1红)中摸到白球的概率为.
3．(2020·临汾调研)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)等于( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3，故选B.
4．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B.3×
C.× D．C×3×
答案 B
解析 由题意知，第四次取球后停止当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.
5．(2019·潮州模拟)一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为( )
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21
答案 B
解析 ∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，
∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
6．(2020·洛阳模拟)在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”．
由题意可得P(A)＝，P(B)＝P(C)＝.
则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为AB，由相互独立事件同时成立的概率公式，可得P(AB)＝P(A)P(B)P()＝××＝，
故选B.
7．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________．(用分数作答)
答案
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C2＝.
8．设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为________．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
解析 ∵X～N(800,502)，∴P(700
∴P(X≤900)＝1－0.022 75＝0.977 25.
9．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案 0.18
解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
10．在某次射击中，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
答案
解析 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P()＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.
故目标被击中的概率P＝1－P()＝.
11．(2019·全国Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
解 (1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为P＝[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为
＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40
＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克．
(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为，则X～B.
X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C0×3＝，
P(X＝1)＝C1×2＝，
P(X＝2)＝C2×1＝，
P(X＝3)＝C3×0＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或者E(X)＝3×＝)
13．(2020·茂名模拟)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587
答案 D
解析 ∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.
∵P(μ－σ
14．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________．
答案 0.4
解析 由题设知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.因为0≤p≤1，所以0.4≤p≤1.所以概率p的最小值为0.4.
15．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________．
答案
解析 记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)．
由题意知，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)互相独立，
则P(Ai)＝＝，
P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝(i＝1,2,3)，
故这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是
P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.
16．(2020·保定模拟)某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)求出y与x的回归方程＝x＋；
(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，求P(3.8
②≈3.2，≈1.8.
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
xiyi－5 ＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，
x－52＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，
∴＝＝－0.56.
∴＝－＝9－(－0.56)×7＝12.92.
∴所求的回归方程是＝－0.56x＋12.92.
(2)由＝－0.56<0知，y与x之间是负相关，
将x＝6代入回归方程可预测该店当日的销售量＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克)．
(3)由(1)知μ＝＝7，由σ2＝s2＝[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.
从而P(3.8
最新考纲
考情考向分析
1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念．
2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．
3.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用，高考中常以解答题的形式考查，难度为中高档.
1．条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A)＝(P(A)>0)．
在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A)＝.
(2)条件概率具有的性质
①0≤P(B|A)≤1.
②如果B和C是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件．
(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)P(AB)＝P(A)P(B)⇔A与B相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交.
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.
③曲线在x＝μ处达到峰值.
④曲线与x轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示.
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a
①P(μ－σ
1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示 不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．
2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．( √ )
(4)正态分布完全由参数μ和σ确定，参数μ可用样本的均值去估计，σ可用样本的标准差去估计．( √ )
题组二 教材改编
2．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
答案 C
解析 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X
解析 ∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，
且P(X>2c－1)＝P(X
题组三 易错自纠
5．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因为两人加工零件成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.
6．某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,102)．已知P(100
解析 ∵考试的成绩X服从正态分布N(110,102)，
∴考试的成绩X关于X＝110对称，
∵P(100
∴该班数学成绩在120分以上的人数约为0.16×50＝8.
条件概率
1．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．
由P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
答案
解析 方法一 (应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，
因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二 (缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
独立重复试验与二项分布
命题点1 相互独立事件的概率
例1 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解 (1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，
且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
P0＝P()＝P()·P()·P()
＝××＝，
有1个家庭回答正确的概率为
P1＝P(A＋B＋C)
＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
P＝1－P0－P1＝1－－＝.
命题点2 独立重复试验
例2 (2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和均值．
解 (1)记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，
其中A1：三次恰好都为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，
则k＝3的概率P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝C3＋C··C··C·＋C2·＝.
(2)由已知得ξ的所有可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，
P(ξ＝4)＝2＋C··＋C··＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
4
2
0
P
∴E(ξ)＝6×＋4×＋2×＋0×＝.
命题点3 二项分布
例3 (2020·全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值．
解 (1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
由＝，得n＝4，
故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
×＋×＝，
所以X～B，X的分布列为
P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝3×＝.
思维升华 (1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
跟踪训练1 (2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和均值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的均值E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.
正态分布
例4 (2020·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P.
利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，
求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值．
参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4.
解 (1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.
(2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9,1.78)．
σ＝＝≈，
P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.773 4.
②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20,0.226 6)，
P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)
＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419
＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6≈0.959 7.
Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.
思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练2 (2020·唐山五校联考)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示．
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数)．
参考数据：≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率约为0.954 5.
解 (1)由题图可得μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X，
由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ
设在82场比赛中，甲得分在26分以上的次数为Y，
则Y～B(82,0.023)．
Y的均值E(Y)＝82×0.023≈2.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为2.
1．(2020·汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获奖乙没获奖或甲没获奖乙获奖，则所求概率是×＋×＝，故选D.
2．(2019·石家庄模拟)袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球，现从中不放回地摸取两个球，已知第一次摸到的是红球，则第二次摸到白球的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在第一次摸到红球的条件下，第二次从3个球(2白1红)中摸到白球的概率为.
3．(2020·临汾调研)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)＝0.5，P(X>2)＝0.3，则P(X<0)等于( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 随机变量X服从正态分布N(a,4)，所以曲线关于x＝a对称，且P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1，所以P(X<0)＝P(X>2)＝0.3，故选B.
4．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B.3×
C.× D．C×3×
答案 B
解析 由题意知，第四次取球后停止当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.
5．(2019·潮州模拟)一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，从试验田中随机抽取10株，果实个数在[90,110]的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为( )
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21
答案 B
解析 ∵x～N(90，σ2)，且P(x<70)＝0.2，
∴P(x>110)＝0.2，
∴P(90≤x≤110)＝0.5－0.2＝0.3，
∴X～B(10,0.3)，
X的方差为10×0.3×(1－0.3)＝2.1.
6．(2020·洛阳模拟)在某次人才招聘会上，假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为，赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的，则该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 记事件A为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”，事件B为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”，事件C为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”．
由题意可得P(A)＝，P(B)＝P(C)＝.
则事件“该毕业生只赢得甲、乙两个公司面试机会”为AB，由相互独立事件同时成立的概率公式，可得P(AB)＝P(A)P(B)P()＝××＝，
故选B.
7．袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是________．(用分数作答)
答案
解析 袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次抽到黄球的概率P1＝，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C2＝.
8．设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502)，则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为________．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ
解析 ∵X～N(800,502)，∴P(700
∴P(X≤900)＝1－0.022 75＝0.977 25.
9．(2019·全国Ⅰ)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．
答案 0.18
解析 记事件M为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.
10．在某次射击中，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为________．
答案
解析 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P()＝P()P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]＝××＝.
故目标被击中的概率P＝1－P()＝.
11．(2019·全国Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
(1)求P(X＝2)；
(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
解 (1)X＝2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.
(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为P＝[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.
12．一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；
(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．(以直方图中的频率作为概率)
解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a＋0.018)×10＝1，解得a＝0.03.由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为
＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40
＝24.6(克)．
故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克．
(2)由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为，则X～B.
X的可能取值为0,1,2,3，
则P(X＝0)＝C0×3＝，
P(X＝1)＝C1×2＝，
P(X＝2)＝C2×1＝，
P(X＝3)＝C3×0＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(或者E(X)＝3×＝)
13．(2020·茂名模拟)设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
A．7 539 B．6 038 C．7 028 D．6 587
答案 D
解析 ∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1.
∵P(μ－σ
14．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的最小值为________．
答案 0.4
解析 由题设知Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4.因为0≤p≤1，所以0.4≤p≤1.所以概率p的最小值为0.4.
15．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是________．
答案
解析 记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)．
由题意知，事件Ai，Bi，Ci(i＝1,2,3)互相独立，
则P(Ai)＝＝，
P(Bi)＝＝，P(Ci)＝＝(i＝1,2,3)，
故这3名民工选择的项目所属类别各不相同的概率是
P＝AP(AiBiCi)＝6×××＝.
16．(2020·保定模拟)某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份其中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：℃)的数据，如下表：
x
2
5
8
9
11
y
12
10
8
8
7
(1)求出y与x的回归方程＝x＋；
(2)判断y与x之间是正相关还是负相关，若该地1月份某天的最低气温为6℃，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
(3)设该地1月份的日最低气温X～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，求P(3.8
②≈3.2，≈1.8.
若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ
xiyi－5 ＝2×12＋5×10＋8×8＋9×8＋11×7－5×7×9＝－28，
x－52＝22＋52＋82＋92＋112－5×72＝50，
∴＝＝－0.56.
∴＝－＝9－(－0.56)×7＝12.92.
∴所求的回归方程是＝－0.56x＋12.92.
(2)由＝－0.56<0知，y与x之间是负相关，
将x＝6代入回归方程可预测该店当日的销售量＝－0.56×6＋12.92＝9.56(千克)．
(3)由(1)知μ＝＝7，由σ2＝s2＝[(2－7)2＋(5－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2＋(11－7)2]＝10，得σ≈3.2.
从而P(3.8
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