2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十二章12.3离散型随机变量的分布列、均值与方差

§12.3　离散型随机变量的分布列、均值与方差
最新考纲
考情考向分析
1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列．
2.了解超几何分布，并能进行简单应用．
3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体，结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法．在高考中以解答题的形式进行考查，难度多为中档.



1．离散型随机变量的分布列
(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．
(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有如下性质：
①pi≥0，i＝1,2，…，n；②i＝1.
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
2．两点分布
如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0 其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
3．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn

(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
4．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
5．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则P(X＝k)＝ (k＝0,1,2，…，m)，即
X
0
1
…
m
P


…


其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　√　)
(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　×　)
(3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　√　)
(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　√　)
题组二　教材改编
2．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p

则p为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
3．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P




设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B．4 C．－1 D．1
答案　A
解析　E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
4．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是____________．
答案　0,1,2,3
解析　因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0,1,2,3.
题组三　易错自纠
5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是(　　)
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到的球的个数
答案　C
解析　选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.
6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．
答案　
解析　由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P(X＝4)＝＝.
分布列的求法
例1　甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为，，.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列．
解　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P





思维升华　求离散型随机变量X的分布列的步骤
(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．
(2)求X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
跟踪训练1　在一次购物抽奖活动中，假设某10张劵中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的分布列．
解　(1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，
所以该顾客中奖的概率
P＝＝＝.
.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60，
且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P






均值与方差
例2　某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为
X1
300
－150
P



∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200.
若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为
X2
500
－300
0
P




∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200.
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×
＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
∴E(X1)＝E(X2)，D(X1) 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．
思维升华　离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略
(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．
(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．
(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．
跟踪训练2　为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ)．
解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，
甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为＝，＝.
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为P3＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为
P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则
P(ξ＝0)＝×＝，
P(ξ＝40)＝×＋×＝，
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，
P(ξ＝120)＝×＋×＝，
P(ξ＝160)＝×＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P






E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
超几何分布
例3　PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：
PM2.5日均值
(微克/立方米)
[25,35)
[35,45)
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85]
频数
3
1
1
1
1
3

(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解　(1)记“从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P(A)＝＝.
(2)由条件知，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





思维升华　(1)超几何分布的两个特点
①超几何分布是不放回抽样问题．
②随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的应用条件
①两类不同的物品(或人、事)．
②已知各类对象的个数．
③从中抽取若干个个体．
跟踪训练3　某项大型赛事需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，在8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及均值．
解　因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N＝8，M＝3，n＝3的超几何分布．
X的所有可能取值为0,1,2,3，其中P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3)．
由公式可得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.

1．下列表中能成为随机变量X的分布列的是(　　)
A.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4

B.
X
1
2
3
P
0.4
0.7
－0.1

C.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3

D.
X
0.1
0.1
0.7
P
0.3
0.4
0.5

答案　C
2．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P



则X的均值E(X)等于(　　)
A．2 B．2或 C. D．1
答案　C
解析　由题意知，＋＝1，a>0，所以a＝1，
所以E(X)＝0×＋1×＝.故选C.
3．设随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P

m



则P(|X－3|＝1)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　根据分布列的性质得出＋m＋＋＝1，
则m＝，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P





所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝4)＋P(X＝2)＝.
4．随机变量X的分布列为
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3

则E(5X＋4)等于(　　)
A．15 B．11 C．2.2 D．2.3
答案　A
解析　∵E(X)＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2，
∴E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝11＋4＝15.
5．若随机变量X的分布列为
X
－2
－1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1

则当P(X A．(－∞，2] B．[1,2]
C．(1,2] D．(1,2)
答案　C
解析　由随机变量X的分布列知，P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X 6．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4,5)，则P等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意知，分布列为
ξ




1
P
a
2a
3a
4a
5a

由分布列的性质可得，a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
解得a＝.
所以P＝P＋P＋
P＝＋＋＝.故选C.
7．一个袋中有4个红球，3个黑球，小明从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球，则小明得分大于6分的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　记得分为X，则X的可能取值为5,6,7,8，P(X＝7)＝＝；P(X＝8)＝＝，所以P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.
8．随机变量X的分布列为
X
0
1
m
P

n


且E(X)＝1.1，则D(X)＝________.
答案　0.49
解析　由＋n＋＝1，得n＝，
∵E(X)＝1.1，∴0×＋1×＋m×＝1.1，得m＝2，
∴D(X)＝(0－1.1)2×＋(1－1.1)2×＋(2－1.1)2×＝0.49.
9．若随机变量ξ的分布列为P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P的值为________．
答案　
解析　∵P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝.
P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝a＝.
10．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c

其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
答案　　
解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
又a＝－d，c＝＋d，
根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，
∴－≤d≤.
11．(2019·皖南八校模拟)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A，B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A，B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A，B，C猜中的概率分别为，，，且A，B，C是否猜中互不影响．
(1)求A恰好获得4元的概率；
(2)设A获得的金额为X元，求X的分布列．
解　(1)依题意，当且仅当C猜中时A恰好获得4元，
∴A恰好获得4元的概率为××＝.
(2)X的所有可能取值为0,4,6,12，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝6)＝×＝，P(X＝12)＝，
∴X的分布列为
X
0
4
6
12
P





12．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和均值．
解　(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P





均值E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X，则X的均值E(X)等于(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　由题意知X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.
14．(2020·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X，若X∈[1,300]，每单提成3元，若X∈(300,600]，每单提成4元，若X∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y，若Y∈[1,400]，每单提成3元，若Y∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份(30天)的送餐量数据，如下表：
表1：美团外卖配送员甲送餐量统计
日送餐量x(单)
13
14
16
17
18
20
天数
2
6
12
6
2
2

表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计
日送餐量y(单)
11
13
14
15
16
18
天数
4
5
12
3
5
1

(1)设美团外卖配送员月工资为f (X)，饿了么外卖配送员月工资为g(Y)，当X＝Y∈(300,600]时，比较f (X)与g(Y)的大小关系；
(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率．
①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E(x)和E(y)；
②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．
解　(1)因为X＝Y∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，
当X∈(300,400]时，f (X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，
当X∈(400,600]时，f (X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，
故当X∈(300,400]时，f (X)>g(Y)，
故X∈(400,600]时，f (X) (2)①甲日送餐量x的分布列为
x
13
14
16
17
18
20
P







乙日送餐量y的分布列为
y
11
13
14
15
16
18
P







则E(x)＝13×＋14×＋16×＋17×＋18×＋20×＝16，
E(y)＝11×＋13×＋14×＋15×＋16×＋18×＝14.
②E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，
美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，
饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780元>3 720元，
故小王应选择做饿了么外卖配送员．

15．(2019·浙江)设0 X
0
a
1
P




则当a在(0,1)内增大时，(　　)
A．D(X)增大
B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小
D．D(X)先减小后增大
答案　D
解析　由题意可知，E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝，所以当a在(0,1)内增大时，D(X)先减小后增大．
16．(2019·全国Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
(1)解　X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)

(2)①证明　由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．
②解　由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1＝.
p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．