2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第五章5.4复　数

§5.4　复　数

最新考纲
考情考向分析
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现，难度为低档.



1.复数的有关概念
(1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
(2)分类：

满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.

概念方法微思考
1.复数a＋bi的实部为a，虚部为b吗？
提示　不一定.只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部.
2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示　复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(　×　)
(3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.(　√　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.(　√　)
题组二　教材改编
2.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)
A.－1 B.0 C.1 D.－1或1
答案　A
解析　∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.

3.在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)
A.1－2i B.－1＋2i C.3＋4i D.－3－4i
答案　D
解析　＝＋＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4.若复数z满足z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z的共轭复数等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　由题意可得z＝＝＝，
所以＝－＋i，故选D.
题组三　易错自纠
5.设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　∵复数a＋＝a－bi为纯虚数，∴a＝0且－b≠0，即a＝0且b≠0，∴“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.
6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由题意，∵z＝＝＝－2－2i，
∴＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限.故选B.


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
复数的有关概念
1.(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位，则复数z＝的虚部为(　　)
A.i B.2 C.－1 D.－i
答案　C
解析　因为＝＝＝2－i，所以z的虚部为－1.
2.(2019·汉中模拟)已知a，b∈R，(a－i)i＝b－2i，则a＋bi的共轭复数为(　　)
A.－2－i B.－2＋i
C.2－i D.2＋i
答案　A
解析　由(a－i)i＝1＋ai＝b－2i，得
∴a＋bi＝－2＋i，其共轭复数为－2－i，故选A.
3.(2019·东莞模拟)已知a为实数，若复数(a＋i)(1－2i)为纯虚数，则a等于(　　)
A.－ B.2 C. D.－2
答案　D
解析　(a＋i)(1－2i)＝a＋2＋(1－2a)i，
∵复数是纯虚数，∴a＋2＝0且1－2a≠0，
得a＝－2且a≠，即a＝－2.故选D.
4.(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z＝＋2iz，则|z|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题意得
z＝＝＝＝，
故|z|＝＝，故选A.
思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等，在解题过程中要注意辨析概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.
复数的运算
命题点1　复数的乘法运算
例1　(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(　　)
A.－3－i B.－3＋i
C.3－i D.3＋i
答案　D
解析　(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i(2＋3i)等于(　　)
A.3－2i B.3＋2i
C.－3－2i D.－3＋2i
答案　D
解析　i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
命题点2　复数的除法运算
例2　(1)(2018·全国Ⅱ)等于(　　)
A.－－i B.－＋i
C.－－i D.－＋i
答案　D
解析　＝＝＝＝－＋i.
故选D.
(2)(2019·全国Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z等于(　　)
A.－1－i B.－1＋i
C.1－i D.1＋i
答案　D
解析　z＝＝＝＝1＋i.
命题点3　复数的综合运算
例3　(1)(2019·达州模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i是虚数单位)，z的共轭复数为，则等于(　　)
A. B.3＋4i C.5 D.7
答案　C
解析　z＝＝＝3＋4i，
故＝3－4i⇒||＝5，故选C.
(2)(2018·成都模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②＝－i；③＝1；
④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，故①不正确；
②＝＝＝＝－i，故②正确；
③＝＝1，故③正确；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确.故选C.
思维升华 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
跟踪训练1　(1)已知a∈R，i是虚数单位，若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)
A.1或－1 B.1
C.－1 D.不存在的实数
答案　A
解析　由题意得＝－ai，
故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.
(2)(2019·晋城模拟)若＝m＋ni，其中m，n∈R，则m－n等于(　　)
A. B. C.－ D.－
答案　B
解析　依题意，得＝
＝＝－－i，
所以m＝－，n＝－，
所以m－n＝.故选B.
复数的几何意义
例4　(1)(2019·聊城模拟)若复数z满足z(2＋3i)＝i，则在复平面上对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　D
解析　由题意得z＝＝＝，
所以＝－i，所以在复平面上对应的点为，位于第四象限.
(2)(2019·上海市金山中学月考)已知集合A＝{z|(a＋bi)＋(a－bi)z＋2＝0，a，b∈R，z∈C}，B＝{z||z|＝1，z∈C}，若A∩B＝∅，则a，b之间的关系是(　　)
A.a＋b>1 B.a＋b<1
C.a2＋b2<1 D.a2＋b2>1
答案　C
解析　设z＝x＋yi，x，y∈R，
则(a＋bi)(x－yi)＋(a－bi)(x＋yi)＋2＝0，
化简整理得，ax＋by＋1＝0，即集合A可看成复平面中直线ax＋by＋1＝0上的点，集合B可看成复平面中圆x2＋y2＝1上的点，
若A∩B＝∅，即直线ax＋by＋1＝0与圆x2＋y2＝1没有交点，d＝>1，即a2＋b2<1，故选C.
思维升华 复数与复平面内的点、向量是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
跟踪训练2　(1)(2019·临沂模拟)已知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　B
解析　由＝－1＋bi，
得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，位于第二象限，故选B.
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y，则x＋y的值是________.
答案　5
解析　由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵＝x＋y，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y，2x－y)，
∴解得故x＋y＝5.

如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0).

任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式.
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式.
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式.
例1　将复数＋i表示成三角形式.
解　因为a＝，b＝1，
所以r＝＝2，θ＝，
即＋i＝2.
例2　将复数2表示成代数形式.
解　2＝2
＝－1＋i.
例3　复数z＝－2是不是复数的三角形式，如果不是，把它表示成三角形式.
解　不是复数的三角形式.
z＝－2＝2
＝2
＝2.


1.(2020·葫芦岛模拟)设i是虚数单位，若复数z＝1＋2i，则复数z的模为(　　)
A.1 B.2 C. D.
答案　D
解析　依题意，|z|＝＝，故选D.
2.(2019·北京)已知复数z＝2＋i，则z·等于(　　)
A. B. C.3 D.5
答案　D
解析　∵z＝2＋i，∴＝2－i，z·＝(2＋i)(2－i)＝5.
故选D.
3.(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)设z＝＋i5，则|z|等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　z＝＋i5＝＋i＝－＋i，
∴|z|＝＝，故选C.
4.(2019·辽阳模拟)已知复数z＝，则z＋在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案　A
解析　∵ z＝＝＝－＋i，
∴ z＋＝＋i，
∴z＋在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选A.
5.(2020·湖南省师范大学附属中学模拟)若复数z＝m2＋m＋(m＋1)i是纯虚数，其中m是实数，则等于(　　)
A.i B.－i C.2i D.－2i
答案　B
解析　复数z＝m(m＋1)＋(m＋1)i是纯虚数，
故m(m＋1)＝0且(m＋1)≠0，解得m＝0，
故z＝i，故＝＝＝－i.故选B.
6.(2019·安徽江南十校联考)已知复数z满足z2＝12＋16i，则z的模为(　　)
A.20 B.12 C.2 D.2
答案　C
解析　设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则解得或
即|z|＝＝＝2.故选C.
7.(2019·江苏)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.
答案　2
解析　(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，∵实部是0，
∴a－2＝0，a＝2.
8.若复数z＝1－i，则z＋的虚部是________.
答案　－
解析　z＋＝1－i＋＝1－i＋＝－i，故虚部为－.
9.(2019·天津市南开中学月考)已知复数z满足＝－i，则|z|＝________.
答案　1
解析　∵复数z满足＝－i，∴(1－i)z＝1＋i，
∴(1＋i)(1－i)z＝(1＋i)(1＋i)，
即2z＝2i，∴z＝i，则|z|＝1.
10.(2020·武汉模拟)＝________.
答案　－i
解析　＝＝＝＝－i.
11.(2019·太原模拟)如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则|z1－z2|＝________.

答案　2
解析　由图象可知z1＝i，z2＝2－i，
故|z1－z2|＝|－2＋2i|＝＝2.
12.已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围.
解　(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以＝＝
＝＝＋i.
又因为是实数，所以＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，
所以解得m<－2，
即m∈(－∞，－2).

13.若复数z＝(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)
C.(－1,1) D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案　C
解析　由题意得
z＝＝＝，
因为z在复平面内对应的点在第一象限，
所以所以－1 14.已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.
答案　
解析　∵复数z＝＝
＝＝＋i∈R，
∴＝0，即a＝3.
则复数z＝＝＝.

15.给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限.
其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
答案　④
解析　由复数的概念及性质知，①错误；②错误；
若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；
z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确.
16.(2020·张家口调研)已知复数z满足：z2＝3＋4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限.
(1)求复数z；
(2)设a∈R，且＝2，求实数a的值.
解　(1)设z＝c＋di(c<0，d<0)，
则z2＝(c＋di)2＝c2－d2＋2cdi＝3＋4i，
∴解得或(舍去).
∴z＝－2－i.
(2)∵＝－2＋i，∴＝＝＝＝i，
∴2 021＝i2 021＝i2 020＋1＝i505×4＋1＝i，
∴|a＋i|＝＝2，∴a＝±.