|学案下载
搜索
    上传资料 赚现金
    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数
    立即下载
    加入资料篮
    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数01
    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数02
    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数03
    还剩10页未读, 继续阅读
    下载需要20学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数

    展开
    §5.4 复 数

    最新考纲
    考情考向分析
    1.理解复数的基本概念.
    2.理解复数相等的充要条件.
    3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.
    4.能进行复数代数形式的四则运算.
    5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
    主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现,难度为低档.



    1.复数的有关概念
    (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
    (2)分类:

    满足条件(a,b为实数)
    复数的分类
    a+bi为实数⇔b=0
    a+bi为虚数⇔b≠0
    a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0

    (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
    (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
    (5)模:向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
    2.复数的几何意义
    复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.
    3.复数的运算
    (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.

    (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
    如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.

    概念方法微思考
    1.复数a+bi的实部为a,虚部为b吗?
    提示 不一定.只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部.
    2.如何理解复数的加法、减法的几何意义?
    提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.

    题组一 思考辨析
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( × )
    (2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × )
    (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.( √ )
    (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ )
    题组二 教材改编
    2.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(  )
    A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
    答案 A
    解析 ∵z为纯虚数,∴∴x=-1.

    3.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是(  )
    A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i
    答案 D
    解析 =+=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.
    4.若复数z满足z=1-i(i是虚数单位),则复数z的共轭复数等于(  )
    A.--i B.-+i
    C.--i D.-+i
    答案 D
    解析 由题意可得z===,
    所以=-+i,故选D.
    题组三 易错自纠
    5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的(  )
    A.充要条件 B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
    答案 C
    解析 ∵复数a+=a-bi为纯虚数,∴a=0且-b≠0,即a=0且b≠0,∴“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.
    6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz=2-2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 B
    解析 由题意,∵z===-2-2i,
    ∴=-2+2i,则z的共轭复数对应的点在第二象限.故选B.


                       
    复数的有关概念
    1.(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位,则复数z=的虚部为(  )
    A.i B.2 C.-1 D.-i
    答案 C
    解析 因为===2-i,所以z的虚部为-1.
    2.(2019·汉中模拟)已知a,b∈R,(a-i)i=b-2i,则a+bi的共轭复数为(  )
    A.-2-i B.-2+i
    C.2-i D.2+i
    答案 A
    解析 由(a-i)i=1+ai=b-2i,得
    ∴a+bi=-2+i,其共轭复数为-2-i,故选A.
    3.(2019·东莞模拟)已知a为实数,若复数(a+i)(1-2i)为纯虚数,则a等于(  )
    A.- B.2 C. D.-2
    答案 D
    解析 (a+i)(1-2i)=a+2+(1-2a)i,
    ∵复数是纯虚数,∴a+2=0且1-2a≠0,
    得a=-2且a≠,即a=-2.故选D.
    4.(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z=+2iz,则|z|等于(  )
    A. B. C. D.
    答案 A
    解析 由题意得
    z====,
    故|z|==,故选A.
    思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等,在解题过程中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.
    复数的运算
    命题点1 复数的乘法运算
    例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1+i)(2-i)等于(  )
    A.-3-i B.-3+i
    C.3-i D.3+i
    答案 D
    解析 (1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.
    (2)i(2+3i)等于(  )
    A.3-2i B.3+2i
    C.-3-2i D.-3+2i
    答案 D
    解析 i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选D.
    命题点2 复数的除法运算
    例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于(  )
    A.--i B.-+i
    C.--i D.-+i
    答案 D
    解析 ====-+i.
    故选D.
    (2)(2019·全国Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z等于(  )
    A.-1-i B.-1+i
    C.1-i D.1+i
    答案 D
    解析 z====1+i.
    命题点3 复数的综合运算
    例3 (1)(2019·达州模拟)已知z(1+i)=-1+7i(i是虚数单位),z的共轭复数为,则等于(  )
    A. B.3+4i C.5 D.7
    答案 C
    解析 z===3+4i,
    故=3-4i⇒||=5,故选C.
    (2)(2018·成都模拟)对于两个复数α=1-i,β=1+i,有下列四个结论:①αβ=1;②=-i;③=1;
    ④α2+β2=0,其中正确结论的个数为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    答案 C
    解析 对于两个复数α=1-i,β=1+i,
    ①αβ=(1-i)(1+i)=2,故①不正确;
    ②====-i,故②正确;
    ③==1,故③正确;
    ④α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,故④正确.故选C.
    思维升华 (1)复数的乘法:复数乘法类似于多项式的乘法运算.
    (2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
    跟踪训练1 (1)已知a∈R,i是虚数单位,若z=+ai,z·=4,则a为(  )
    A.1或-1 B.1
    C.-1 D.不存在的实数
    答案 A
    解析 由题意得=-ai,
    故z·=3+a2=4⇒a=±1,故选A.
    (2)(2019·晋城模拟)若=m+ni,其中m,n∈R,则m-n等于(  )
    A. B. C.- D.-
    答案 B
    解析 依题意,得=
    ==--i,
    所以m=-,n=-,
    所以m-n=.故选B.
    复数的几何意义
    例4 (1)(2019·聊城模拟)若复数z满足z(2+3i)=i,则在复平面上对应的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 D
    解析 由题意得z===,
    所以=-i,所以在复平面上对应的点为,位于第四象限.
    (2)(2019·上海市金山中学月考)已知集合A={z|(a+bi)+(a-bi)z+2=0,a,b∈R,z∈C},B={z||z|=1,z∈C},若A∩B=∅,则a,b之间的关系是(  )
    A.a+b>1 B.a+b<1
    C.a2+b2<1 D.a2+b2>1
    答案 C
    解析 设z=x+yi,x,y∈R,
    则(a+bi)(x-yi)+(a-bi)(x+yi)+2=0,
    化简整理得,ax+by+1=0,即集合A可看成复平面中直线ax+by+1=0上的点,集合B可看成复平面中圆x2+y2=1上的点,
    若A∩B=∅,即直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1没有交点,d=>1,即a2+b2<1,故选C.
    思维升华 复数与复平面内的点、向量是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可.
    跟踪训练2 (1)(2019·临沂模拟)已知=-1+bi,其中a,b是实数,则复数a-bi在复平面内对应的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 B
    解析 由=-1+bi,
    得a=(-1+bi)(1-i)=(b-1)+(b+1)i,
    ∴即a=-2,b=-1,
    ∴复数a-bi=-2+i在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限,故选B.
    (2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,若=x+y,则x+y的值是________.
    答案 5
    解析 由已知得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2),
    ∵=x+y,
    ∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y),
    ∴解得故x+y=5.

    如图的复平面中,r=,cos θ=,sin θ=,tan θ=(a≠0).

    任何一个复数z=a+bi都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)的形式.
    我们把r(cos θ+isin θ)叫做复数的三角形式.
    对应于复数的三角形式,把z=a+bi叫做复数的代数形式.
    例1 将复数+i表示成三角形式.
    解 因为a=,b=1,
    所以r==2,θ=,
    即+i=2.
    例2 将复数2表示成代数形式.
    解 2=2
    =-1+i.
    例3 复数z=-2是不是复数的三角形式,如果不是,把它表示成三角形式.
    解 不是复数的三角形式.
    z=-2=2
    =2
    =2.


    1.(2020·葫芦岛模拟)设i是虚数单位,若复数z=1+2i,则复数z的模为(  )
    A.1 B.2 C. D.
    答案 D
    解析 依题意,|z|==,故选D.
    2.(2019·北京)已知复数z=2+i,则z·等于(  )
    A. B. C.3 D.5
    答案 D
    解析 ∵z=2+i,∴=2-i,z·=(2+i)(2-i)=5.
    故选D.
    3.(2019·湖南省桃江县第一中学模拟)设z=+i5,则|z|等于(  )
    A. B. C. D.
    答案 C
    解析 z=+i5=+i=-+i,
    ∴|z|==,故选C.
    4.(2019·辽阳模拟)已知复数z=,则z+在复平面内对应的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 A
    解析 ∵ z===-+i,
    ∴ z+=+i,
    ∴z+在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限.故选A.
    5.(2020·湖南省师范大学附属中学模拟)若复数z=m2+m+(m+1)i是纯虚数,其中m是实数,则等于(  )
    A.i B.-i C.2i D.-2i
    答案 B
    解析 复数z=m(m+1)+(m+1)i是纯虚数,
    故m(m+1)=0且(m+1)≠0,解得m=0,
    故z=i,故===-i.故选B.
    6.(2019·安徽江南十校联考)已知复数z满足z2=12+16i,则z的模为(  )
    A.20 B.12 C.2 D.2
    答案 C
    解析 设z=a+bi,a,b∈R,
    则由z2=12+16i,得a2-b2+2abi=12+16i,
    则解得或
    即|z|===2.故选C.
    7.(2019·江苏)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是________.
    答案 2
    解析 (a+2i)(1+i)=a-2+(a+2)i,∵实部是0,
    ∴a-2=0,a=2.
    8.若复数z=1-i,则z+的虚部是________.
    答案 -
    解析 z+=1-i+=1-i+=-i,故虚部为-.
    9.(2019·天津市南开中学月考)已知复数z满足=-i,则|z|=________.
    答案 1
    解析 ∵复数z满足=-i,∴(1-i)z=1+i,
    ∴(1+i)(1-i)z=(1+i)(1+i),
    即2z=2i,∴z=i,则|z|=1.
    10.(2020·武汉模拟)=________.
    答案 -i
    解析 ====-i.
    11.(2019·太原模拟)如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则|z1-z2|=________.

    答案 2
    解析 由图象可知z1=i,z2=2-i,
    故|z1-z2|=|-2+2i|==2.
    12.已知复数z=bi(b∈R),是实数,i是虚数单位.
    (1)求复数z;
    (2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.
    解 (1)因为z=bi(b∈R),
    所以==
    ==+i.
    又因为是实数,所以=0,
    所以b=-2,即z=-2i.
    (2)因为z=-2i,m∈R,
    所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2
    =(m2-4)-4mi,
    又因为复数(m+z)2所表示的点在第一象限,
    所以解得m<-2,
    即m∈(-∞,-2).

    13.若复数z=(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限,则实数a的取值范围是(  )
    A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
    C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
    答案 C
    解析 由题意得
    z===,
    因为z在复平面内对应的点在第一象限,
    所以所以-1 14.已知a∈R,i是虚数单位,若复数z=∈R,则复数z=________.
    答案 
    解析 ∵复数z==
    ==+i∈R,
    ∴=0,即a=3.
    则复数z===.

    15.给出下列命题:
    ①若z∈C,则z2≥0;
    ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
    ③若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
    ④若z=-i,则z3+1在复平面内对应的点位于第一象限.
    其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
    答案 ④
    解析 由复数的概念及性质知,①错误;②错误;
    若a=-1,则a+1=0,不满足纯虚数的条件,③错误;
    z3+1=(-i)3+1=i+1,④正确.
    16.(2020·张家口调研)已知复数z满足:z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限.
    (1)求复数z;
    (2)设a∈R,且=2,求实数a的值.
    解 (1)设z=c+di(c<0,d<0),
    则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,
    ∴解得或(舍去).
    ∴z=-2-i.
    (2)∵=-2+i,∴====i,
    ∴2 021=i2 021=i2 020+1=i505×4+1=i,
    ∴|a+i|==2,∴a=±.
    • 精品推荐
    • 所属专辑

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map