2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十二章12.2几何概型

§12.2　几何概型
最新考纲
考情考向分析
1.了解几何概型的意义．
2.了解日常生活中的几何概型.
以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集、定积分等知识交汇考查．在高考中多以选择、填空题的形式考查，难度为中档.



1．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．
2．几何概型概率的计算公式
P(A)＝.
3．几何概型试验的两个基本特点
(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个.
(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
概念方法微思考
1．古典概型与几何概型有什么区别？
提示　古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．
2．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？
提示　几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　√　)
(2)几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．(　√　)
(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　×　)
(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．
(　×　)
题组二　教材改编
2．在数轴的[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为(　　)
A. B. C. D．1
答案　B
解析　坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为.
3．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)

答案　A
解析　∵P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
4．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图所示，

正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分(不包括)表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是，故选D.

题组三　易错自纠
5.(2020·江西重点中学联盟联考)如图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子(大小忽略不计)，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为(　　)

A. B. C. D．无法计算
答案　B
解析　设阴影部分的面积为S，
由几何概型可知＝⇒S＝.
6．在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为________．
答案　
解析　设AC＝x cm(0 由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，
解得0 在数轴上表示，如图所示．

由几何概型概率计算公式，得所求概率为＝.
与长度(角度)有关的几何概型
1．(2020·太原模拟)设x∈[0，π]，则sin x<的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由sin x<且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈∪，∴P＝＝.
2.如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．

答案　
解析　如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.
3．(2017·江苏)记函数f (x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．
答案　
解析　设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2,3]．
如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，

∴P(A)＝.
4．某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．
答案　
解析　如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB上，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.
思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．
与面积有关的几何概型
命题点1　与平面图形有关的几何概型
例1　(2018·全国Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2 B．p1＝p3
C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3
答案　A
解析　∵S△ABC＝AB·AC，
以AB为直径的半圆的面积为π·2＝AB2，
以AC为直径的半圆的面积为π·2＝AC2，
以BC为直径的半圆的面积为π·2＝BC2，
∴SⅠ＝AB·AC，SⅢ＝BC2－AB·AC，
SⅡ＝－
＝AB·AC.
∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝，p2＝.
∴p1＝p2.
故选A.
命题点2　与简单的线性规划有关的几何概型
例2　在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　设这两个数是x，y，则试验所有的基本事件构成的区域即确定的平面区域，满足条件的事件包含的基本事件构成的区域即确定的平面区域，
如图所示，阴影部分的面积是1－×2＝，

所以这两个数之和小于的概率是.
命题点3　与定积分有关的几何概型
例3　(2019·江淮十校联考)如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为(　　)

A. B. C. D.
答案　A
解析　以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB＝1，BC＝2，

则B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，过A，D，E三点的抛物线方程为y＝x2，
阴影部分面积为
S′＝×2×1－x2dx＝＝，
又矩形ABCD的面积为SABCD＝1×2＝2，
故点落在阴影部分的概率为P＝＝＝.

思维升华 (1)与平面几何有关的几何概型，应利用平面几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率．
(2)与简单线性规划有关的几何概型，先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求解．
(3)与定积分有关的几何概型，先确定基本事件对应区域的形状构成，再将其面积转化为某定积分的计算，并求其大小，进而代入公式求概率．
跟踪训练1　(1)在区间[0,1]上随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意得，(xi，yi)(i＝1,2，…，n)在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影区域(不包含边界)中，即以1为半径的圆中．由几何概型概率计算公式知＝，所以π＝.

(2)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．
答案　
解析　设通电x秒后第一串彩灯闪亮，通电y秒后第二串彩灯闪亮．依题意得0≤x≤4,0≤y≤4，∴S＝4×4＝16.
又两串彩灯闪亮的时刻相差不超过2秒，即|x－y|≤2，如图可知，符合要求的S′＝16－×2×2－×2×2＝12，

∴由几何概型的概率公式得P＝＝＝.
(3)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆(大小忽略不计)，则它落到阴影部分的概率为________．

答案　
解析　由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝2ʃ(e－ex)dx＝2(ex－ex)|＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e2，
故由几何概型的概率公式可得所求概率为.
与体积有关的几何概型
例4　(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　以AB为直径作球，球在正方体内的区域体积为V＝×π×13＝，正方体的体积为8，∴所求概率P＝＝.
(2)(2020·山西临汾一中月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为________．
答案　
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设四棱锥M－ABCD的高为h，当×S四边形ABCD×h＝时，又S四边形ABCD＝1，∴h＝.若四棱锥M－ABCD的体积小于，则h<，即点M在正方体内且到四边形ABCD所在平面的距离小于，∴P＝＝.
思维升华　求解与体积有关的几何概型的注意点
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
跟踪训练2　在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为(　　)
A. B.π C. D.
答案　D
解析　由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R＝，球的体积V2＝π×3＝π，
则此点落在正方体内部的概率P＝＝.

1．(2020·衡水调研)在区间(0,100)内任取一数x，则lg x>1的概率为(　　)
A．0.1 B．0.5 C．0.8 D．0.9
答案　D
解析　由lg x>1，得x>10，所以所求概率为P＝＝0.9.
2．在区间[0，π]上随机取一个数x，使cos x的值介于－与之间的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　cos x的值介于－与之间的区间长度为－＝.由几何概型概率计算公式，得P＝＝.
3．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，由几何概型，得P1＝＝＝，故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－＝.
4.(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所以由几何概型知，所求概率P＝＝＝.
5．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.
6．某水池的容积是20立方米，向水池注水的水龙头A和水龙头B的水流速度都是1立方米/小时，它们在一昼夜内随机开0～24小时，则水池不溢出水的概率约为(　　)
A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.45
答案　B
解析　设水龙头A开x小时，水龙头B开y小时，则0≤x≤24,0≤y≤24，若水池不溢出水，则x＋y≤20，记“水池不溢出水”为事件M，则M所表示的区域面积为×20×20＝200，整个区域的面积为24×24＝576，由几何概型的概率公式得P(M)＝≈0.35.


7．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0，1)，正弦曲线f (x)＝sin x和余弦曲线g(x)＝cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　根据题意，可得曲线y＝sin x与y＝cos x围成的阴影区域的面积为＝1－＝1＋.又矩形ABCD的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是.故选B.
8．在区间[0,3]上任取一个数x，使得不等式x2－3x＋2>0成立的概率为________．
答案　
解析　x2－3x＋2>0⇔x>2或x<1，由几何概型概率公式可得P＝.
9．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．
答案　
解析　∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ＝20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A，则LA＝5分钟，故P(A)＝＝.
10.如图所示，M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过R的概率是________．

答案　
解析　当弦MN的长度恰为R时，∠MON＝，如图，当点N落在半圆弧上时，弦MN的长度不超过R，故所求概率为P＝.

11．已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC 答案　
解析　当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－＝.
12．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.
答案　3
解析　由|x|≤m，得－m≤x≤m(易知m>0)．
当0 当2
13.如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率为________．

答案　
解析　因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，所以BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P(N)＝＝.
14．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，则它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率为________．
答案　
解析　设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部．

所求概率为P(A)＝＝＝＝.

15．在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则(　　)
A．p1 C．p3 答案　B
解析　因为x，y∈[0,1]，所以事件“x＋y≥”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S1，事件“|x－y|≤”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S2，事件“xy≤”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S3，由图知，阴影部分的面积满足S2
16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，求此点取自空白部分的概率．

解　设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.

不妨令OA＝OB＝2，则OD＝DA＝DC＝1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－＝1，
所以整个图形中空白部分面积S2＝2.
又因为S扇形OAB＝×π×22＝π，
所以此点取自空白部分的概率P＝.