2021高考数学一轮复习学案：第十章10.5二项分布与正态分布


§10.5　二项分布与正态分布


1．条件概率及其性质
(1)条件概率的定义
对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率．
(2)条件概率的求法
求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概率公式，即P(B|A)＝.
2．相互独立事件
(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称A，B相互独立．
(2)若A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．
(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立．
(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则A，B相互独立．
3．二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)．
4．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)．
5．正态分布
(1)正态曲线：函数P(x)＝，x∈R，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数P(x)的图象为正态密度曲线．
(2)正态曲线的特点
①当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；
②正态曲线关于直线x＝μ对称；
③σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；
④在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%.
②落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%.
③落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
概念方法微思考
1．条件概率中P(B|A)与P(A|B)是一回事吗？
提示　不一样，P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，P(A|B)是在B发生的条件下A发生的概率．
2．“事件相互独立”与“事件互斥”有何不同？
提示　两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　×　)
(2)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　×　)
(3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　√　)
(4)正态分布完全由参数μ和σ确定，参数μ可用样本的均值去估计，σ可用样本的标准差去估计．(　√　)
题组二　教材改编
2．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(　　)
A．0.2 B．0.3 C．0.38 D．0.56
答案　C
解析　设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，
则两地恰有一地降雨为A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝0.2×0.7＋0.8×0.3
＝0.38.
3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X 答案　
解析　∵X～N(3,1)，∴正态曲线关于x＝3对称，
且P(X>2c－1)＝P(X ∴2c－1＋c＋3＝3×2，∴c＝.

题组三　易错自纠
5．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为两人加工零件成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P＝×＋×＝.
6．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有两部分考试都“合格”者，才给颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为，，在操作考试中“合格”的概率依次为，，所有考试是否合格相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有一人获得“合格证书”的概率为________．
答案　
解析　甲获得“合格证书”的概率为×＝，乙获得“合格证书”的概率是×＝，两人中恰有一人获得“合格证书”的概率是×＋×＝.
7．已知两个随机变量X，Y满足X＋2Y＝4，且X～N(1,22)，则E(Y)＝________；V(Y)＝________.
答案　　1
解析　由X～N(1,22)得，E(X)＝1，V(X)＝4.又X＋2Y＝4，所以Y＝2－，所以E(Y)＝2－E(X)＝，V (Y)＝V(X)＝1.

条件概率
1．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记“第i(i＝1,2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i＝1,2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1)．
由P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．
答案　
解析　方法一　(应用条件概率公式求解)设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，
因为P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
方法二　(缩小样本空间求解)第一次取到不合格品后，也就是在第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.
思维升华　求条件概率的常用方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.
独立重复试验与二项分布
命题点1　相互独立事件的概率
例1　某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
解　(1)记“甲回答正确这道题”“乙回答正确这道题”“丙回答正确这道题”分别为事件A，B，C，则P(A)＝，
且有
即
所以P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为
P0＝P( )＝P()·P()·P()
＝××＝，
有1个家庭回答正确的概率为
P1＝P(A ＋B＋ C)
＝××＋××＋××＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为
P＝1－P0－P1＝1－－＝.
命题点2　独立重复试验
例2　(2020·广东华附、省实、广雅、深中四校联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的概率分布和均值．
解　(1)记“连续抛掷k次骰子的点数和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，
其中A1：三次恰好都为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次为1，一次为4，A1，A2，A3为互斥事件，
则k＝3的概率P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)
＝C3＋C··C··C·＋C2·
＝.
(2)由已知得ξ的所有可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝，
P(ξ＝4)＝2＋C··＋C··＝，
P(ξ＝2)＝，
P(ξ＝0)＝1－－－＝.
∴ξ的概率分布为
ξ
6
4
2
0
P




∴E(ξ)＝6×＋4×＋2×＋0×＝.

命题点3　二项分布
例3　(2020·全国100所名校最新示范卷)某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是.”
(1)求抽奖者获奖的概率；
(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的概率分布和均值．
解　(1)设“扫黑除恶利国利民”卡有n张，
由＝，得n＝4，
故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为＝.
(2)在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为
×＋×＝，
所以X～B，X的概率分布为
P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)，
X
0
1
2
3
P





所以E(X)＝3×＝.
思维升华　(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法
①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略
①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．
②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
跟踪训练1　(2019·天津)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的概率分布和均值；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
解　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的概率分布为
X
0
1
2
3
P





随机变量X的均值E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，
从而由(1)知
P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P({X＝3，Y＝1})＋P({X＝2，Y＝0})＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.
正态分布
例4　(2020·烟台模拟)2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表)；
(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N(μ，σ2)，令Y＝，则Y～N(0,1)，且P(X≤a)＝P.
利用直方图得到的正态分布，求P(X≤10)．
②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，
求P(Z≥2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值．
参考数据：≈，0.773 419≈0.007 6.若Y～N(0,1)，则P(Y≤0.75)＝0.773 4.
解　(1)＝6×0.03＋7×0.1＋8×0.2＋9×0.35＋10×0.19＋11×0.09＋12×0.04＝9，
s2＝(6－9)2×0.03＋(7－9)2×0.1＋(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.35＋(10－9)2×0.19＋(11－9)2×0.09＋(12－9)2×0.04＝1.78.
(2)①由题意知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N(9,1.78)．
σ＝＝≈，
P(X≤10)＝P＝P(Y≤0.75)＝0.773 4.
②由①知P(X>10)＝1－P(X≤10)＝0.226 6，
可得Z～B(20,0.226 6)，
P(Z≥2)＝1－P(Z＝0)－P(Z＝1)
＝1－0.773 420－C×0.226 6×0.773 419
＝1－(0.773 4＋20×0.226 6)×0.007 6
≈0.959 7.
Z的均值E(Z)＝20×0.226 6＝4.532.
思维升华　解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.
跟踪训练2　某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分分别为7,8,10,15,17,19,21,23.
(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ；
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ，σ2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数(结果保留整数)．
参考数据：≈5.66，≈5.68，≈5.70.
正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为95.4%.
解　(1)由题意可得μ＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，
σ2＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25，
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15，标准差σ为5.68.
(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X，
由(1)得甲在每场比赛中得分不低于26分的概率
P(X≥26)≈[1－P(μ－2σ ≈(1－0.954)＝0.023，
设在82场比赛中，甲得分不低于26分的次数为Y，
则Y～B(82,0.023)．
Y的均值E(Y)＝82×0.023≈2.
由此估计甲在82场比赛中得分在不低于26分的平均场数为2.