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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第二章2.7函数的图象
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§2.7 函数的图象
最新考纲
考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
函数图象的辨析；利用函数图象研究函数性质；数形结合求解函数零点、不等式等，题型以选择题为主，中档难度.
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f (x)y＝－f (x)．
②y＝f (x)y＝f (－x)．
③y＝f (x)y＝－f (－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)y＝f (ax)．
②y＝f (x)y＝af (x)．
(4)翻折变换
①y＝f (x)y＝|f (x)|.
②y＝f (x)y＝f (|x|)．
概念方法微思考
1．函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f (x)解析式满足什么条件？
提示 f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)．
2．若函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f (x)，g(x)的关系是__________．
提示 g(x)＝2b－f (2a－x)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f (1－x)的图象，可由y＝f (－x)的图象向左平移1个单位得到．( × )
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f (x)|与y＝f (|x|)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f (x)的图象关于y轴对称即函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
题组二 教材改编
2．函数f (x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)
答案 ③
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．
4．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是__________．
答案 (－1,1]
解析 在同一坐标系内作出y＝f (x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．
由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
答案 A
解析 依题意，得函数定义域为R，且f (－x)＝ln(x2＋1)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，即函数f (x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f (x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
6．将函数f (x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．
答案 y＝(2x＋3)2
作函数的图象
分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝.
解 (1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．
(4)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
函数图象的辨识
例1 (1)(2019·甘肃、青海、宁夏回族自治区联考)函数f (x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵f (x)定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f (x)，
∴f (x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；
当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f (x)<0，排除A，C.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝－f (2－x)的图象为( )
答案 B
解析 y＝f (x)
y＝f (－x)
y＝f (2－x)
y＝－f (2－x)．选B.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
跟踪训练1 (1)函数f (x)＝·sin x的图象的大致形状为( )
答案 A
解析 ∵f (x)＝·sin x，
∴f (－x)＝·sin(－x)
＝－sin x＝·sin x＝f (x)，
且f (x)的定义域为R，
∴函数f (x)为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f (2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合．
(2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝
C．f (x)＝－1
D．f (x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f (x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f (x)＝x－，则x→＋∞时，f (x)→＋∞，排除D，故选A.
函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2 (1)已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f (x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f (x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f (x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f (x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得
f (x)＝
画出函数f (x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图所示．由图可知，y的最小值为22＝6－2＝4，故选C.
命题点2 确定零点个数、解不等式
例3 已知f (x)＝则函数y＝2f2(x)－3f (x)＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 方程2f2(x)－3f (x)＋1＝0的解为f (x)＝或1.
作出y＝f (x)的图象，由图象知零点的个数为5.
对本例中函数f (x)，不等式f (x)≤1的解集为________．
答案
解析 由图象可知f (0)＝1，当≤x≤10时，f (x)≤1.
∴不等式f (x)≤1的解集为.
命题点3 求参数的取值范围
例4 已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
若f (x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案
解析 如图作出函数f (x)的图象，
当－1≤k<时，
直线y＝kx的图象恒在函数y＝f (x)的下方．
思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
跟踪训练2 (1)已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|
(2)使log2(－x)
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．
(3)设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
1．函数y＝的图象大致是( )
答案 D
解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xln x，y′＝1＋ln x，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.
2．已知函数f (x)＝则函数y＝f (1－x)的大致图象是( )
答案 D
解析 方法一 先画出函数f (x)＝的草图，令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象(图略)，故选D.
方法二 由已知函数f (x)的解析式，得y＝f (1－x)＝故该函数过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.
3．将函数f (x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f (x)等于( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f (x)的图象，∴y＝f (x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
4．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 ∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1.∴选C.
5．(2019·成都诊断)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝1－2－x，则不等式f (x)<－的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 当x>0时，f (x)＝1－2－x>0.
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)<－的解集和f (x)>的解集关于原点对称，由1－2－x>得2－x<＝2－1，
即x>1，则f (x)<－的解集是(－∞，－1)．故选A.
6．函数f (x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c>0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f (x)＝及图象可知，x≠－c，－c>0，则c<0.
当x＝0时，f (0)＝>0，所以b>0，
当y＝0时，ax＋b＝0⇒x＝－>0.
所以a<0，选C.
7．已知偶函数y＝f (x)，x∈R满足f (x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f (x)－g(x)的零点个数为________．
答案 3
解析 y＝f (x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点．
8．已知函数f (x)＝若实数a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 (2,2 021)
解析 函数f (x)＝的图象如图所示，不妨令a
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1
答案 3
解析 由图可知，当f (x)＝0时，x＝－1，x＝0，x＝1，由g(x)＝－1，g(x)＝0，g(x)＝1得，x＝－1，x＝0，x＝1，x＝2，即A＝{－1,0,1,2}，当g(x)＝0时，x＝0，x＝2，由f (x)＝0，f (x)＝2得，x＝－1，x＝0，x＝1，所以B＝{－1,0,1}，所以A∩B＝{－1,0,1}，所以A∩B中有3个元素．
10．已知f (x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f (x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f (x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意作出f (x)在[－1,3]上的图象如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，
即函数f (x)与y＝kx＋k＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，
故kAB
作出函数y＝－x2＋5x－3＝－2＋(1
得当a>或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；
当a＝或1
(1)当实数m取何值时，方程|f (x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f (x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)令F (x)＝|f (x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F (x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F (x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；
当0
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
13．已知函数f (x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x)的图象可能是( )
答案 B
解析 函数f (x－1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x)的图象；
∵函数f (x－1)是定义在R上的奇函数，
∴函数f (x－1)的图象关于原点对称，
∴函数f (x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A，C，D，选B.
14．已知函数f (x)的定义域为R，且f (x)＝若方程f (x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，1)
解析 当x≤0时，f (x)＝2－x－1,0
如图所示．
若方程f (x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f (x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
15．函数y＝f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2－y2＝1，则给出以下四个命题：
①函数y＝f (x)一定是偶函数；
②函数y＝f (x)可能是奇函数；
③函数y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增；
④若y＝f (x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)．
其中正确的序号为________．(把所有正确的序号都填上)
答案 ②
解析 由题意可得，函数y＝f (x)的图象是双曲线x2－y2＝1的一部分．
由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．
其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；
由图(2)(4)可知函数y＝f (x)可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误；
由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误．
综上可知，填②.
16．已知函数f (x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．
解 对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，即f (x)max≤g(x)min.
观察f (x)＝的图象可知，
当x＝时，函数f (x)max＝.
因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥，
解得k≤或k≥.
故实数k的取值范围是∪.
最新考纲
考情考向分析
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
函数图象的辨析；利用函数图象研究函数性质；数形结合求解函数零点、不等式等，题型以选择题为主，中档难度.
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域．(2)化简函数的解析式．(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)．(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f (x)y＝－f (x)．
②y＝f (x)y＝f (－x)．
③y＝f (x)y＝－f (－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．
(3)伸缩变换
①y＝f (x)y＝f (ax)．
②y＝f (x)y＝af (x)．
(4)翻折变换
①y＝f (x)y＝|f (x)|.
②y＝f (x)y＝f (|x|)．
概念方法微思考
1．函数f (x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f (x)解析式满足什么条件？
提示 f (a＋x)＝f (a－x)或f (x)＝f (2a－x)．
2．若函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，则f (x)，g(x)的关系是__________．
提示 g(x)＝2b－f (2a－x)
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f (1－x)的图象，可由y＝f (－x)的图象向左平移1个单位得到．( × )
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f (x)|与y＝f (|x|)的图象相同．( × )
(3)函数y＝f (x)的图象关于y轴对称即函数y＝f (x)与y＝f (－x)的图象关于y轴对称．( × )
(4)若函数y＝f (x)满足f (1＋x)＝f (1－x)，则函数y＝f (x)的图象关于直线x＝1对称．( √ )
题组二 教材改编
2．函数f (x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
答案 C
解析 函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x)＝－f (x)，即函数f (x)为奇函数，其图象关于原点对称，故选C.
3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________．(填序号)
答案 ③
解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．
4．如图，函数f (x)的图象为折线ACB，则不等式f (x)≥log2(x＋1)的解集是__________．
答案 (－1,1]
解析 在同一坐标系内作出y＝f (x)和y＝log2(x＋1)的图象(如图)．
由图象知不等式的解集是(－1,1]．
题组三 易错自纠
5．函数f (x)＝ln(x2＋1)的图象大致是( )
答案 A
解析 依题意，得函数定义域为R，且f (－x)＝ln(x2＋1)＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数，即函数f (x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f (x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.
6．将函数f (x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．
答案 y＝(2x＋3)2
作函数的图象
分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2；(4)y＝.
解 (1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．
(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．
(3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图③所示．
(4)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．
函数图象的辨识
例1 (1)(2019·甘肃、青海、宁夏回族自治区联考)函数f (x)＝(2x＋2－x)ln|x|的图象大致为( )
答案 B
解析 ∵f (x)定义域为{x|x≠0}，且f (－x)＝(2－x＋2x)ln|－x|＝(2x＋2－x)ln|x|＝f (x)，
∴f (x)为偶函数，关于y轴对称，排除D；
当x∈(0,1)时，2x＋2－x>0，ln|x|<0，可知f (x)<0，排除A，C.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f (x)的图象如图所示，则y＝－f (2－x)的图象为( )
答案 B
解析 y＝f (x)
y＝f (－x)
y＝f (2－x)
y＝－f (2－x)．选B.
思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象．
跟踪训练1 (1)函数f (x)＝·sin x的图象的大致形状为( )
答案 A
解析 ∵f (x)＝·sin x，
∴f (－x)＝·sin(－x)
＝－sin x＝·sin x＝f (x)，
且f (x)的定义域为R，
∴函数f (x)为偶函数，故排除C，D；
当x＝2时，f (2)＝·sin 2<0，故排除B，只有A符合．
(2)(2019·贵州七校联考)已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝
C．f (x)＝－1
D．f (x)＝x－
答案 A
解析 由函数图象可知，函数f (x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f (x)＝x－，则x→＋∞时，f (x)→＋∞，排除D，故选A.
函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例2 (1)已知函数f (x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f (x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f (x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f (x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f (x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f (x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得
f (x)＝
画出函数f (x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f (x)的图象关于原点对称，故函数f (x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
(2)定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设y＝max{2x,2x－3,6－x}，则y的最小值是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
答案 C
解析 画出y＝max{2x,2x－3,6－x}的示意图，如图所示．由图可知，y的最小值为22＝6－2＝4，故选C.
命题点2 确定零点个数、解不等式
例3 已知f (x)＝则函数y＝2f2(x)－3f (x)＋1的零点个数是________．
答案 5
解析 方程2f2(x)－3f (x)＋1＝0的解为f (x)＝或1.
作出y＝f (x)的图象，由图象知零点的个数为5.
对本例中函数f (x)，不等式f (x)≤1的解集为________．
答案
解析 由图象可知f (0)＝1，当≤x≤10时，f (x)≤1.
∴不等式f (x)≤1的解集为.
命题点3 求参数的取值范围
例4 已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．
答案
解析 先作出函数f (x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f (x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的取值范围为.
若f (x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
答案
解析 如图作出函数f (x)的图象，
当－1≤k<时，
直线y＝kx的图象恒在函数y＝f (x)的下方．
思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系．
(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．
跟踪训练2 (1)已知f (x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f (x)|≥g(x)时，h(x)＝|f (x)|；当|f (x)|
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
答案 C
解析 画出y＝|f (x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f (x)|≥g(x)，故h(x)＝|f (x)|；在A，B之间，|f (x)|
(2)使log2(－x)
解析 在同一坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1,0)．
(3)设函数f (x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
答案 [－1，＋∞)
解析 如图作出函数f (x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f (x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．
1．函数y＝的图象大致是( )
答案 D
解析 从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xln x，y′＝1＋ln x，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．由此可知应选D.
2．已知函数f (x)＝则函数y＝f (1－x)的大致图象是( )
答案 D
解析 方法一 先画出函数f (x)＝的草图，令函数f (x)的图象关于y轴对称，得函数f (－x)的图象，再把所得的函数f (－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f (1－x)的图象(图略)，故选D.
方法二 由已知函数f (x)的解析式，得y＝f (1－x)＝故该函数过点(0,3)，排除A；过点(1,1)，排除B；在(－∞，0)上单调递增，排除C.选D.
3．将函数f (x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f (x)等于( )
A．ex＋1 B．ex－1
C．e－x＋1 D．e－x－1
答案 D
解析 与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的函数为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f (x)的图象，∴y＝f (x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
4．(2019·衡水中学调研卷)为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 ∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1.∴选C.
5．(2019·成都诊断)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝1－2－x，则不等式f (x)<－的解集是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，－1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 当x>0时，f (x)＝1－2－x>0.
又f (x)是定义在R上的奇函数，
所以f (x)<－的解集和f (x)>的解集关于原点对称，由1－2－x>得2－x<＝2－1，
即x>1，则f (x)<－的解集是(－∞，－1)．故选A.
6．函数f (x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b>0，c>0
B．a<0，b>0，c>0
C．a<0，b>0，c<0
D．a<0，b<0，c<0
答案 C
解析 由f (x)＝及图象可知，x≠－c，－c>0，则c<0.
当x＝0时，f (0)＝>0，所以b>0，
当y＝0时，ax＋b＝0⇒x＝－>0.
所以a<0，选C.
7．已知偶函数y＝f (x)，x∈R满足f (x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝则y＝f (x)－g(x)的零点个数为________．
答案 3
解析 y＝f (x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f (x)和y＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点．
8．已知函数f (x)＝若实数a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋c的取值范围是__________．
答案 (2,2 021)
解析 函数f (x)＝的图象如图所示，不妨令a
由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1
答案 3
解析 由图可知，当f (x)＝0时，x＝－1，x＝0，x＝1，由g(x)＝－1，g(x)＝0，g(x)＝1得，x＝－1，x＝0，x＝1，x＝2，即A＝{－1,0,1,2}，当g(x)＝0时，x＝0，x＝2，由f (x)＝0，f (x)＝2得，x＝－1，x＝0，x＝1，所以B＝{－1,0,1}，所以A∩B＝{－1,0,1}，所以A∩B中有3个元素．
10．已知f (x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f (x)＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f (x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠－1)有四个实数根，则k的取值范围是__________．
答案
解析 由题意作出f (x)在[－1,3]上的图象如图所示，记y＝k(x＋1)＋1，
∴函数y＝k(x＋1)＋1的图象过定点A(－1,1)．
记B(2,0)，由图象知，方程有四个实数根，
即函数f (x)与y＝kx＋k＋1的图象在[－1,3]内有四个交点，
故kAB
作出函数y＝－x2＋5x－3＝－2＋(1
得当a>或a≤1时，原方程的实数解的个数为0；
当a＝或1
(1)当实数m取何值时，方程|f (x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式f2(x)＋f (x)－m>0在R上恒成立，求实数m的取值范围．
解 (1)令F (x)＝|f (x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F (x)的图象如图所示．
由图象可知，当m＝0或m≥2时，函数F (x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个实数解；
当0
因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上是增函数，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，即所求m的取值范围为(－∞，0]．
13．已知函数f (x－1)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则函数f (x)的图象可能是( )
答案 B
解析 函数f (x－1)的图象向左平移1个单位长度，即可得到函数f (x)的图象；
∵函数f (x－1)是定义在R上的奇函数，
∴函数f (x－1)的图象关于原点对称，
∴函数f (x)的图象关于点(－1,0)对称，排除A，C，D，选B.
14．已知函数f (x)的定义域为R，且f (x)＝若方程f (x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为________．
答案 (－∞，1)
解析 当x≤0时，f (x)＝2－x－1,0
如图所示．
若方程f (x)＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f (x)的图象与直线y＝x＋a有两个不同交点，故a<1，即a的取值范围是(－∞，1)．
15．函数y＝f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，其图象上任一点P(x，y)满足x2－y2＝1，则给出以下四个命题：
①函数y＝f (x)一定是偶函数；
②函数y＝f (x)可能是奇函数；
③函数y＝f (x)在(1，＋∞)上单调递增；
④若y＝f (x)是偶函数，其值域为(0，＋∞)．
其中正确的序号为________．(把所有正确的序号都填上)
答案 ②
解析 由题意可得，函数y＝f (x)的图象是双曲线x2－y2＝1的一部分．
由函数的定义可知，该函数的图象可能是如图所示的四种情况之一．
其中，图(1)(4)表示的函数为偶函数，图(2)(3)表示的函数是奇函数，所以命题②正确，命题①错误；
由图(2)(4)可知函数y＝f (x)可以在区间(1，＋∞)上单调递减，故命题③错误；
由图(4)可知，该函数的值域也可能为(－∞，0)，所以命题④错误．
综上可知，填②.
16．已知函数f (x)＝g(x)＝|x－k|＋|x－2|，若对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，求实数k的取值范围．
解 对任意的x1，x2∈R，都有f (x1)≤g(x2)成立，即f (x)max≤g(x)min.
观察f (x)＝的图象可知，
当x＝时，函数f (x)max＝.
因为g(x)＝|x－k|＋|x－2|≥|x－k－(x－2)|＝|k－2|，
所以g(x)min＝|k－2|，所以|k－2|≥，
解得k≤或k≥.
故实数k的取值范围是∪.
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