2021高三统考北师大版数学一轮学案：第7章第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

基础知识整合

1．判断二元一次不等式表示的平面区域

由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2．线性规划中的基本概念

1．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.

2．画二元一次不等式表示的平面区域的方法

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．

1．不等式组表示的平面区域是(　　)

答案　C

解析　由x－y＋2≥0，得y≤x＋2，故表示直线y＝x＋2的下方(包括边界)，由x－3y＋6<0，得3y>x＋6，故表示直线x－3y＋6＝0的上方(不包括边界)，故选C.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

2．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－7,24)  B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)

C．(－24,7)  D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)

答案　A

解析　由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7<a<24.

3．(2019·浙江高考)若实数x，y满足约束条件

则z＝3x＋2y的最大值是(　　)

A．－1  B．1

C．10  D．12

答案　C

解析　如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1,1)，B(1，－1)，C(2,2)为顶点的△ABC区域(包含边界)．作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.故选C.

4．若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)

A．[0,6]  B．[0,4]

C．[6，＋∞)  D．[4，＋∞)

答案　D

解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝－x＋过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin＝2＋2×1＝4.所以z＝x＋2y的取值范围是[4，＋∞)．故选D.

5．(2019·广州模拟)若实数x，y满足则z＝的最小值为(　　)

A．3  B.

C.  D.

答案　D

解析　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．

z＝ 表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z的最小值为.故选D.

6．(2019·北京高考)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________．

答案　－3　1

解析　作出x，y满足的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝y－x，则y＝x＋z.

把z看作常数，则目标函数是可平行移动的直线，z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.

当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.

核心考向突破

考向一　二元一次不等式(组)表示平面区域　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(1)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为(　　)

A．－3  B．－2

C．－1  D．0

答案　C

解析　不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点，共9个整点，故选C.

(2)不等式组表示的平面区域的面积等于________．

答案　

解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(1,0)，B(2,0)，

由得C(4,3)．

∴S△ABC＝AB·|yc|＝

×1×3＝.

(1)确定Ax＋By＋C≥0表示的区域有两种方法：①试点法，一般代入原点；②化为y≥kx＋b(y≤kx＋b)的形式．不等式y≥kx＋b表示的区域为直线y＝kx＋b及其上方，不等式y≤kx＋b表示的区域为直线y＝kx＋b及其下方．

(2)可行域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可利用x＝m逐条分段统计．

[即时训练]　1.(2019·郑州模拟)已知不等式组

表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________．

答案　

解析　区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可．

由方程组

解得A(1,0)．

由方程组解得B(2,3)．

所以AB的中点坐标为，代入直线方程y＝kx＋1得，＝k＋1，解得k＝.

2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．

答案　(0,1]∪

解析　不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由得

A；由得

B(1,0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是0<a≤1或a≥.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　求目标函数的最值问题

角度1　　求线性目标函数的最值

例2　(2019·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　　)

A．2  B．3

C．5  D．6

答案　C

解析　画出可行域，如图中阴影部分所示，由z＝－4x＋y，可得y＝4x＋z.设直线l0为y＝4x，平移直线l0，当直线y＝4x＋z过点A时z取得最大值．

由得A(－1,1)，

∴zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.

求z＝ax＋by的最值时，一般先化为y＝－x＋的形式.为直线y＝－x＋在y轴上的截距，当b>0时将直线上移z变大，当b<0时将直线下移z变大．

[即时训练]　3.(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是________．

答案　9

解析　作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，作出直线y＝3x，并平移，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．

由解得

即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.

角度2　　求非线性目标函数的最值

例3　(2019·重庆一中模拟)已知实数x，y满足则z＝的最大值为________．

答案　

解析　画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．因为z′＝表示可行域内的点P(x，y)与点A(0，－1)连线的斜率，

由得直线交点为B(3,4)，所以当P在点B(3,4)时，z′＝有最大值＝，因此z＝的最大值为.

目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：

 (1)表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离．

(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．

[即时训练]　4.(2019·辽宁五校联考)已知a，b是正数，且满足2<a＋2b<4，那么a2＋b2的取值范围为________．

答案　

解析　以a为横轴，b为纵轴建立直角坐标系，在平面直角坐标系aOb中作出不等式组表示的平面区域，得到如图所示的四边形ABCD内部(不包括边界)．其中A(2,0)，B(0,1)，C(0,2)，D(4,0)．设P(a，b)为区域内一个动点，则|OP|＝表示点P到原点O的距离，所以z＝a2＋b2＝|OP|2.可得当P与D重合时，P到原点距离最大，此时z＝a2＋b2＝42＋0＝16；当P点在直线BA上，且满足OP⊥AB时，P到原点距离最小，为＝，此时z＝a2＋b2＝.综上所述，可得a2＋b2的取值范围是.

角度3　　求线性规划中的参数

例4　(2019·河北保定一模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　　)

A.  B.

C．1  D.

答案　A

解析　作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，

由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的截距最小，此时z最小，为3，即2x＋y＝3.

由解得即A，又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，

∴b＝.故选A.

(1)线性规划问题中的参数可以出现在约束条件或目标函数中．

(2)一般地，目标函数只在可行域的顶点或边界处取得最值．

[即时训练]　5.(2019·江西红色七校联考)设x，y满足约束条件若z＝mx＋y的最小值为－3，则m的值为________．

答案　－

解析　作出可行域如图中阴影部分所示．

当m≤0时，z＝mx＋y⇒y＝－mx＋z，当直线y＝－mx＋z过点C时纵截距最小，从而z最小，由得

∴C(3，－1)，∴3m－1＝－3，∴m＝－.

当0≤m≤1时，直线y＝－mx＋z过点C时，z最小，由上面解法知不符合题意．

当m>1时，直线y＝－mx＋z过点B时纵截距最小，从而z最小，由得∴B.

由m＋＝－3得m＝－9与m>1矛盾．

综上可知，m＝－.

考向三　线性规划中的实际应用问题

例5　(2019·安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为(　　)

A．320千元  B．360千元

C．400千元  D．440千元

答案　B

解析　设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则z＝2x＋y，作出

表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，当直线z＝2x＋y经过直线2x＋3y＝480与直线6x＋y＝960的交点(150,60)(满足x∈N，y∈N)时，z取得最大值，为360.

解线性规划应用问题的一般步骤

(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．

(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．

(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．

(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．

(5)检验：根据结果，检验反馈．

[即时训练]　6.某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n(m，n为整数)，则m＋n的最小值为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案　B

解析　由题意知

又不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

可得目标函数z＝m＋n在点(1,2)处取得最小值3.

故选B.

(2019·北京西城区模拟)x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)

A.或－1  B．2或

C．2或1  D．2或－1

答案　D

解析　作出可行域(如图阴影部分)，为△ABC内部(含边界)．由题设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合．由kAB＝－1，kAC＝2，kBC＝可得a＝－1或a＝2或a＝，验证：a＝－1或a＝2时，成立；a＝时，不成立．故选D.

答题启示

若目标函数所表示的直线正好与可行域的某一条边界平行，且可行域的边界是可以取到的，此时目标函数取得的最优解就有无穷多个，求解时注意分类讨论的思想．

对点训练

已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数z＝x＋my取得最小值，求m的值．

解　作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

若m＝0，则z＝x，目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．

若m≠0，则目标函数z＝x＋my可看作斜率为－的动直线y＝－x＋，

若m<0，则－>0，数形结合知使目标函数z＝x＋my取得最小值的最优解不可能有无穷多个；

若m>0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，在线段AB上有无穷多个点(x，y)，使目标函数z＝x＋my取得最小值，即－＝－1，则m＝1.

综上可知，m＝1.