2021高三统考北师大版数学一轮学案：第8章第1讲　空间几何体的结构及其三视图和直观图

第八章  立体几何

第1讲　空间几何体的结构及其三视图和直观图

基础知识整合

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

(2)旋转体的结构特征

 (3)特殊的四棱柱

 2．直观图

(1)画法：常用斜二测画法．

(2)规则

①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．

3．三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．

(2)三视图的画法

①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．

②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；重叠的线只画一条，看不到的线画虚线．

1．常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆．

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．

2．在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线．

3．斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”

“三不变”

4．直观图与原图形面积的关系

S直观图＝S原图形(或S原图形＝2S直观图)．

1．下列结论正确的是(　　)

A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

B．六条棱长均相等的四面体是正四面体

C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台

答案　B

解析　底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，A错误；斜四棱柱也可能有两个侧面是矩形，C错误；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，D错误．

2．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)

A．①②  B．②③

C．②④  D．③④

答案　C

解析　由几何体的结构可知，如图放置的圆锥、正四棱锥各自的正视图和侧视图相同，且其不与俯视图相同；正方体的三个视图都相同；正三棱台的三个视图都不相同，故选C.

3．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出它的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为(　　)

A．2  B．2

C．4  D．8

答案　D

解析　由斜二测画法可知，原平面图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为2.在斜二测画法画出的直观图中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝2，那么在原图形中，∠BOA ＝90°且OB＝4，因此，原平面图形的面积为2×4＝8，故选D.

4．(2019·广州期末)用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(　　)

答案　B

解析　俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.

5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)

答案　D

解析　由三视图知该几何体的上半部分是一个三棱柱，下半部分是一个四棱柱．故选D.

6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　C

解析　根据三视图，还原四棱锥，如图．在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB＝1，AD＝DC＝SD＝2.显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又SA⊂平面SAD，∴AB⊥SA，即△SAB是直角三角形．又计算△SBC的三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C.

核心考向突破

考向一　空间几何体的结构特征

例1　下列说法正确的是(　　)

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

答案　B

解析　A错误，如图1；B正确，如图2，其中PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，可以证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错误，如图3；D错误，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．

识别空间几何体的两种方法

(1)定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定．

(2)反例法：通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可．

[即时训练]　1.下列结论正确的是(　　)

A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

答案　D

解析　如图1知，A不正确；如图2，当两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，B不正确；

若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误；由母线的概念知，D正确．

考向二　平面图形与其直观图的关系

例2　(1)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为(　　)

A．24  B．12

C．48  D．20

答案　A

解析　由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE××＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4，∴S▱OABC＝6×4＝24.故选A.

(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．

答案　

解析　因为OE＝ ＝1，所以O′E′＝，E′F′＝，所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝.

画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴和z轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．

[即时训练]　2.(2019·桂林模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A.a2  B.a2  C.a2  D.a2

答案　D

解析　如图①、②所示的平面图形和直观图．

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.

所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.

3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为________．

答案　8 cm2

解析　解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上、下底的长分别与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.

解法二：依题意可知，S直观图＝2 cm2，

故S原图形＝2S直观图＝8 cm2.

精准设计考向，多角度探究突破

考向三　空间几何体的三视图

角度1　由空间几何体的直观图识别三视图

例3　(1)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)

答案　A

解析　观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为，故选A.

(2)(2019·南昌联考)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(　　)

答案　C

解析　由题意，得该四棱锥的直观图如图1所示，则其三视图如图2.

角度2 　由空间几何体的三视图还原直观图

例4　(1)(2019·广州二模)如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是(　　)

答案　D

解析　先观察俯视图，由俯视图可知B和D中的一个正确，由正视图和侧视图，可知D正确．

(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的所有面中直角三角形的个数是(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

答案　C

解析　由三视图知，可将此几何体还原在正方体中，为如图所示的四棱锥P－ABCD.易知四棱锥P－ABCD的四个侧面都是直角三角形，所以此几何体的所有面中直角三角形的个数是4，故选C.

角度3　　由两个视图补画第三个视图

例5　(1)(2019·天津模拟)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正(主)视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为(　　)

答案　B

解析　由几何体的正(主)视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示．

从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线．故选B.

(2)(2019·沈阳模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(　　)

答案　C

解析　若俯视图为C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是C.故选C.

三视图问题的常见类型及求解策略

(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．

 (2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．

(3)常见的三视图对应的几何体

①三视图为三个三角形，对应三棱锥；

②三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；

③三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥；

④三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；

⑤三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱．

[即时训练]　4.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　　)

答案　A

解析　该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为A中的图．故选A.

5．(2019·广州市综合测试)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)

答案　D

解析　由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，其底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为×4×2＝，满足条件，所以该几何体的俯视图可以为一个直角三角形．

6．(2019·石河子模拟)如图，点E，F分别是正方体的侧面ADD1A1和侧面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的各面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)

答案　②③

解析　其中②可以是四边形BFD1E在正方体的下底面ABCD上的投影；③可以是四边形BFD1E在正方体的侧面BCC1B1上的投影．

如图是一正方体被过棱的中点M，N和顶点A，D，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为(　　)

答案　B

解析　还原正方体，如图所示，由题意可知，该几何体的主视图是选项B.

答题启示

不规则的几何体实际上是规则几何体利用“割”“补”出来的，所以识别其三视图时，常用的思路是“复原”，即把这个放在规则几何体(如正方体、长方体)中去认识几何体的特征．

对点训练

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为(　　)

答案　C

解析　过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.