2021高三统考北师大版数学一轮学案：第8章第2讲　空间几何体的表面积和体积


第2讲　空间几何体的表面积和体积
基础知识整合

1．多面体的表面积、侧面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式


圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积
公式
S圆柱侧＝
2πrl
S圆锥侧＝
πrl
S圆台侧＝
π(r1＋r2)l

3．柱、锥、台和球的表面积和体积

名称
几何体
表面积
体积
柱体
(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体
(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋
S上＋S下
V＝(S上＋S下＋
)h
球
S＝4πr2
V＝πr3


1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)直棱柱的外接球半径可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，可知球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径．
(4)设正四面体的棱长为a，则它的高为a，内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2019·福州二模)设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为(　　)
A．100π B. C. D.
答案　D
解析　由题意知切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝＝＝5，故球的体积V＝πR3＝π×53＝，即该西瓜的体积为.
2．(2019·安徽蚌埠质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为(　　)

A．π＋ B．π＋2
C．2π＋ D．2π＋2
答案　A
解析　由三视图可知，该几何体由半个圆柱和一个三棱锥组合而成．故该几何体的体积为×π×12×2＋××2×2×2＝π＋.
3．(2018·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．2 B．4
C．6 D．8
答案　C
解析　由三视图知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，即如图所示四棱柱A1B1C1D1－ABCD.由三视图中的数据可知底面梯形的两底分别为1和2，高为2，所以S底面＝×(1＋2)×2＝3.因为直四棱柱的高为2，所以体积V＝3×2＝6.故选C.
4．(2019·北京东城区模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(　　)


A．2＋ B．4＋
C．2＋2 D．5
答案　C
解析　该三棱锥的直观图如图所示，过点D作DE⊥BC，交BC于点E，连接AE，则BC＝2，EC＝1，AD＝1，ED＝2，
S表＝S△BCD＋S△ACD＋S△ABD＋S△ABC＝×2×2＋××1＋××1＋×2×＝2＋2.故选C.
5．如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为，则球的表面积和体积分别为________，________.

答案　36π　36π
解析　底面中心与C′的连线即为半径，设球的半径为R，则R2＝()2＋()2＝9.所以R＝3，所以S球＝4πR2＝36π，V球＝πR3＝36π.
6．如图所示，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

答案　
解析　由题意知，DC边的中点就是球心O，
∵它到D，A，C，B四点的距离相等，
∴球的半径R＝CD，又AB＝BC＝，
∴AC＝，∴CD＝＝3，
∴R＝，∴V球O＝3＝.
核心考向突破


考向一　几何体的表面积
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　(1)(2019·衡水模拟)如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是(　　)

A．π＋4＋4 B．2π＋4＋4
C．2π＋4＋2 D．2π＋2＋4
答案　B
解析　由几何体的三视图可知，该几何体是由半圆柱与三棱柱组成的几何体，其直观图如图所示，其表面积S＝2×π×12＋π×1×1＋2××2×1＋(＋＋2)×2－2×1＝2π＋4＋4.故选B.
(2)(2019·郑州二模)如图是某几何体的三视图，图中方格的单位长度为1，则该几何体的表面积为________．

答案　8＋4

解析　由三视图，知该几何体为三棱锥，将该几何体放在长方体中如图所示，由题意可知长方体的长、宽、高分别为2,2,4，
由BC＝2，CD＝2计算，得
BD＝2，AD＝2，AB＝2，
所以S△BCD＝×2×2＝2，
S△ADC＝×2×2＝2，
S△ABC＝×2×2＝2，
因为△ABD为等腰三角形，高为＝3，所以S△ABD＝×2×3＝6，所以该几何体的表面积为2＋2＋2＋6＝8＋4.


几类空间几何体表面积的求法

(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．


[即时训练]　1.(2019·山东潍坊模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．20π B．24π
C．28π D．32π
答案　C
解析　由三视图可知该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥的底面半径为3，高为4，则该几何体的表面积S＝π×32＋π×3×5＋2π×1×2＝28π.故选C.
2．(2019·河北承德模拟)某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为(　　)

A．8＋4＋2 B．6＋4＋4
C．6＋2＋2 D．8＋2＋2
答案　C
解析　由三视图可知，该几何体为放在正方体内的四棱锥E－ABCD，如图，正方体的棱长为2，该四棱锥底面为正方形，面积为4，前后两个侧面为等腰三角形，面积分别为2，2，左右两个侧面为直角三角形，面积都为，可得这个几何体的表面积为6＋2＋2，故选C.



精准设计考向，多角度探究突破
考向二　几何体的体积
角度1　　补形法求体积
例2　(1)(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)

A．90π B．63π
C．42π D．36π
答案　B
解析　(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．
将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.
(2)(2019·北京高考)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为________．

答案　40
解析　由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4)×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
角度2　　分割法求体积
例3　(1)(2019·山西五校联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　　)

A．5000立方尺 B．5500立方尺
C．6000立方尺 D．6500立方尺
答案　A
解析　该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.
取AB的中点G，CD的中点H，连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F－GBCH与三棱柱ADE－GHF的体积之和．又可以将三棱柱ADE－GHF割补成高为EF，底面积为S＝×3×1＝(平方丈)的一个直棱柱，故该楔体的体积V＝×2＋×2×3×1＝5(立方丈)＝5000(立方尺)．故选A.
(2)(2019·浙江高考)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．158 B．162
C．182 D．324
答案　B
解析　如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S＝×3＋×3＝27，因此，该柱体的体积V＝27×6＝162.故选B.
角度3　　转化法求体积
例4　(1)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF的体积是________．
答案　8
解析　由正三棱柱的底面边长为4，得点F到平面A1AE的距离(等于点C到平面A1ABB1的距离)为×4＝2，则V三棱锥A－A1EF＝V三棱锥F－A1AE＝S△A1AE×2＝××6×4×2＝8.
(2)在三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，三棱锥P－ABC的体积为V2，则＝________.
答案　
解析　如图所示，由于D，E分别是边PB与PC的中点，所以S△BDE＝S△PBC.又因为三棱锥A－BDE与三棱锥A－PBC的高相等，所以＝.


(1)处理体积问题的思路

(2)求体积的常用方法
直接法
对于规则的几何体，利用相关公式直接计算
割补法
首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体、不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算
等体
积法
选择合适的底面来求几何体的体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任何一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换





[即时训练]　3.(2019·河北沧州质检)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱．已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是(　　)
A．50 B．75
C．25.5 D．37.5
答案　D
解析　如图，由题意及给定的三视图可知，剩余部分是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥C1－MNB1A1所得的，且直三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，高为5.图中几何体ABCC1MN为剩余部分，因为AM＝2，B1C1⊥平面MNB1A1，所以剩余部分的体积V＝V三棱柱A1B1C1－ABC－V四棱锥C1－A1B1NM＝×5×5×5－×3×5×5＝37.5，故选D.

4．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
答案　
解析　三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为线段AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以V三棱锥F－DD1E＝××1＝.
考向三　与球有关的切、接问题
例5　(1)(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为(　　)
A．8π B．4π
C．2π D.π
答案　D
解析　
设PA＝PB＝PC＝2a，
则EF＝a，FC＝，∴EC2＝3－a2.
在△PEC中，
cos∠PEC＝.
在△AEC中，cos∠AEC＝.
∵∠PEC与∠AEC互补，∴3－4a2＝1，a＝，
故PA＝PB＝PC＝.
又AB＝BC＝AC＝2，∴PA⊥PB⊥PC，
∴外接球的直径2R＝ ＝，
∴R＝，∴V＝πR3＝π×3＝π.故选D.
(2)(2019·沈阳市东北育才学校模拟)将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案　B
解析　将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R，则有2πR＝3×，所以R＝1，设圆锥的内切球的半径为r，结合圆锥和球的特征，可知内切球的球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h，因为圆锥的母线长为3，所以h＝＝2，所以＝，解得r＝，因此内切球的表面积S＝4πr2＝2π.故选B.


“切”“接”问题的处理规律
(1)“切”的处理
解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面．
(2)“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．


[即时训练]　5.(2018·全国卷Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为(　　)
A．12 B．18
C．24 D．54
答案　B
解析　如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC的中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC体积最大，此时，OD＝OB＝R＝4.

∵S△ABC＝AB2＝9，
∴AB＝6，
∵点M为三角形ABC的重心，
∴BM＝BE＝2，
∴在Rt△OMB中，有OM＝＝2.
∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，
∴(V三棱锥D－ABC)max＝×9×6＝18.故选B.
6．(2019·漳州模拟)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，A1B1＝3，B1C1＝4，A1C1＝5，AA1＝2，则其外接球与内切球的表面积之比为(　　)
A. B.
C. D．29
答案　A
解析　由底面三角形的三边长可知，底面三角形为直角三角形，内切球半径r＝＝1，取AC，A1C1的中点D，E，则外接球球心是DE的中点O，由A1C1＝5，AA1＝2，得AC1＝，所以外接球半径R＝OA＝，所以＝＝，故选A.

1．(2019·郑州二模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的外接球的体积为(　　)

A. B.
C．180π D．90π
答案　A
解析　构造底面边长为3,6，高为3的长方体，由三视图可知，该几何体是如图1中所示的三棱锥P－ABC.

所以在该三棱锥中，PA⊥底面ABC，并且AB⊥AC，把该三棱锥放在如图2所示的底面边长为3，高为3的长方体中，则该三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，设该三棱锥的外接球的半径为R，则有(2R)2＝32＋(3)2＋(3)2＝45，解得R＝，所以该三棱锥的外接球的体积V＝πR3＝π3＝，故选A.
2．(2019·宝鸡中学高三第一次模拟)已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC＝BD＝，则a＝________.
答案　2

解析　由题意，知四面体ABCD的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示．设AF＝x，BF＝y，CF＝z，则＝＝，
又4π·2＝9π，
解得x＝y＝2，∴a＝＝2.
答题启示
1．若四面体中有三条棱两两垂直，则方法是找到三条两两互相垂直的棱，借助墙角模型补成长方体(如图)，用公式 ＝2R求解．

2．若四面体的对棱相等，则解题步骤为
第一步：画出一个长方形，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设长方体的长宽高分别为a，b，c，列出方程(其中α，β，γ为常数)⇒a2＋b2＋c2＝；
第三步：根据墙角模型，＝2R⇒R＝.

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

对点训练


1．在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝90°，将△ABC沿BC上的高AD折成直二面角B′－AD－C，则三棱锥B′－ACD的外接球的表面积为(　　)
A．π B.π
C．3π D．2π
答案　C
解析　如图，∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝2，则BD＝DC＝AD＝1，由题意，得AD⊥底面B′DC，又二面角B′－AD－C为直二面角，∴B′D⊥DC，把三棱锥B′－ACD补形为正方体，则正方体的体对角线长为，则三棱锥B′－ACD的外接球的半径为，则其外接球的表面积为S＝4π×2＝3π.故选C.
2．(2019·漳州质量监测)已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个四面体的表面积为________．
答案　16

解析　将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示，设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，解得R＝.
因为正四面体ABCD的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有a＝2R＝2，所以a＝2.
而正四面体ABCD的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD的棱长为a＝4，
因此，这个正四面体的表面积为4××42×sin＝16.