2021高三统考北师大版数学一轮学案：第3章第3讲　导数与函数的极值、最值

第3讲　导数与函数的极值、最值
基础知识整合

1．导数与函数的极值
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值；
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．
2．导数与函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

1．函数f(x)＝x3－6x2＋8x的极值点是(　　)
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝－2和x＝1 D．x＝1和x＝2
答案　D
解析　f′(x)＝4x2－12x＋8＝4(x－2)(x－1)，则结合列表可得函数f(x)的极值点为x＝1和x＝2.故选D．
2．(2019·哈尔滨模拟)设函数f(x)＝xex，则(　　)
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
答案　D
解析　f′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex.
令f′(x)＝0，则x＝－1.
当x<－1时，f′(x)<0，当x>－1时，f′(x)>0，
所以x＝－1为f(x)的极小值点．
3．(2019·岳阳模拟)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1
C．－e D．0
答案　B
解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.故选B．
4．函数y＝x3－3x2－9x(－2 A．极大值为5，极小值为－27
B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值
D．极大值为－27，无极小值
答案　C
解析　y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x－3)(x＋1)，∴y′＝0时，x＝3或x＝－1.∵－2 5．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝(　　)
A． B．－
C．－ln 2 D．ln 2
答案　B
解析　由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln 2.令y′＝0，得2x(1＋x·ln 2)＝0.∵2x>0，∴x＝－.
6．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________.
答案　6
解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2，∵f(x)在x＝2处有极大值，∴解得c＝6.
核心考向突破

精准设计考向，多角度探究突破
考向一　导数与函数的极值　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度　　知图判断函数极值情况

例1　
(2019·浙江杭州二中6月热身考)如图，可知导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，设h(x)＝f(x)－g(x)，则下列说法正确的是(　　)
A．h′(x0)＝0，x＝x0是h(x)的极大值点
B．h′(x0)＝0，x＝x0是h(x)的极小值点
C．h′(x0)≠0，x＝x0不是h(x)的极值点
D．h′(x0)≠0，x＝x0是h(x)的极值点
答案　B
解析　由题知g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，
故h(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，
所以h′(x)＝f′(x)－f′(x0)，因为
h′(x0)＝f′(x0)－f′(x0)＝0，
又当x 当x>x0时，有h′(x)>0，
所以x＝x0是h(x)的极小值点，故选B．
角度　　已知函数解析式求极值

例2　(2019·福建泉州单科质检)已知函数f(x)＝ax3－bx＋2的极大值和极小值分别为M，m，则M＋m＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
答案　D
解析　f′(x)＝3ax2－b＝0，该方程两个根为x1，x2，故f(x)在x1，x2处取到极值，
M＋m＝ax－bx1＋2＋ax－bx2＋2
＝－b(x1＋x2)＋a(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＋4，
又x1＋x2＝0，x1x2＝－，
所以M＋m＝4，故选D．
角度　　已知函数的极值求参数的值或取值范围

例3　(1)(2020·辽宁丹东质量测试二)若x＝1是函数f(x)＝x3＋(a＋1)x2－(a2＋a－3)x的极值点，则a的值为(　　)
A．－2 B．3
C．－2或3 D．－3或2
答案　B
解析　∵f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)，
∴f′(1)＝0，则
f′(1)＝1＋2(a＋1)－(a2＋a－3)＝0，
解得a＝3或a＝－2.
当a＝3时，
f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)
＝x2＋8x－9＝(x＋9)(x－1)，
当x>1或x<－9时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当－9 显然x＝1是函数f(x)的极值点．
当a＝－2时，
f′(x)＝x2＋2(a＋1)x－(a2＋a－3)
＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴函数R是上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去，故选B．
(2)(2019·沈阳模拟)设函数f(x)＝ln x－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为________.
答案　a>－1
解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a，∴f′(x)＝－ax＋a－1＝＝.①若a≥0，当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．②若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1－1.

函数极值问题的常见类型及解题策略
(1)已知导函数图象判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
(2)已知函数求极值．求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．
(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．

[即时训练]　1.函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则a，b的值为(　　)
A．a＝3，b＝－3，或a＝－4，b＝11
B．a＝－4，b＝1，或a＝－4，b＝11
C．a＝－1，b＝5
D．以上都不正确
答案　D
解析　f′(x)＝3x2－2ax－b，依题意，有
即
解得或
当a＝3且b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有故选D．
2．(2019·贵阳模拟)已知函数y＝的图象如图所示(其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数)，则以下说法错误的是(　　)

A．f′(1)＝f′(－1)＝0
B．当x＝－1时，函数f(x)取得极大值
C．方程xf′(x)＝0与f(x)＝0均有三个实数根
D．当x＝1时，函数f(x)取得极小值
答案　C
解析　由图象可知f′(1)＝f′(－1)＝0，A说法正确．当x<－1时，<0，此时f′(x)>0；当－10，此时f′(x)<0，故当x＝－1时，函数f(x)取得极大值，B说法正确．当01时，>0，此时f′(x)>0，故当x＝1时，函数f(x)取得极小值，D说法正确．故选C．
3．(2019·湖南师大附中模拟)若函数f(x)＝(2－a)在上有极大值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(，e) B．(，2)
C．(2，e) D．(e，＋∞)
答案　B
解析　令f′(x)＝(2－a)(x－1)(ex－a)＝0，得x＝ln a∈，解得a∈(，e)，由题意知，当x∈时，f′(x)>0，当x∈(ln a,1)时，f′(x)<0，所以2－a>0，得a<2.综上，a∈(，2)．故选B．
考向二　导数与函数的最值

例4　(2019·苏州模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
解　(1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，
即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝.
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.
②当≥2，即0 ③当1<<2，即 当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.
综上可知，
当0 当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.

求函数f(x)在[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

[即时训练]　4.已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解　(1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x
(－∞，0)
0



f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘

故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，函数f(x)的极大值点为x＝.
(2)①当－1≤x<1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0)和上单调递减，在上单调递增．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，
所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，
当a≤0时，f(x)≤0；
当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
考向三　极值与最值的综合应用

例5　(2019·大庆模拟)已知函数f(x)＝，其中a为正实数，x＝是f(x)的一个极值点．
(1)求a的值；
(2)当b>时，求函数f(x)在[b，＋∞)上的最小值．
解　f′(x)＝.
(1)因为x＝是函数y＝f(x)的一个极值点，所以f′＝0，
因此a－a＋1＝0，解得a＝.
经检验，当a＝时，x＝是y＝f(x)的一个极值点，故所求a的值为.
(2)由(1)可知，f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝.
f(x)与f′(x)随x的变化情况如下：

x





f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗

↘

↗

所以，f(x)的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当 所以f(x)在[b，＋∞)上的最小值为f＝；
当b≥时，f(x)在[b，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在[b，＋∞)上的最小值为f(b)＝＝.


(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象得到函数的最值．

[即时训练]　5.(2019·山西三区八校模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx(其中a，b为常数，且a≠0)在x＝1处取得极值．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，e]上的最大值为1，求a的值．
解　(1)因为f(x)＝ln x＋ax2＋bx，
所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋b，
因为函数f(x)＝ln x＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，
所以f′(1)＝1＋2a＋b＝0，
又a＝1，所以b＝－3，
则f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝1.
f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：

x



1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值
减
极小值
增

所以f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为.
(2)由(1)知f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以x2＝≠x1＝1，
当<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，
令f(1)＝1，解得a＝－2，
当a>0时，x2＝>0，
当<1时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，[1，e]上单调递增，
所以最大值可能在x＝或x＝e处取得，
而f＝ln ＋a2－(2a＋1)＝ln －－1<0，所以f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，
解得a＝，
当1< 所以最大值可能在x＝1或x＝e处取得，
而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)<0，
所以f(e)＝ln e＋ae2－(2a＋1)e＝1，
解得a＝，与1 当x2＝≥e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，
所以最大值可能在x＝1处取得，而f(1)＝ln 1＋a－(2a＋1)<0，矛盾，
综上所述，a＝或a＝－2.

(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝ax2－xln x．
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时，f(x) 解　(1)由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1.
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时，f′(x)≥0，即2a≥恒成立．
令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝－，
易知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，
所以2a≥1，即a≥.故a的取值范围是.
(2)证明：若a＝e，要证f(x) 令h(x)＝ln x＋(x>0)，则h′(x)＝，
易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)min＝h＝0，
所以ln x＋≥0.
再令φ(x)＝ex－ex(x>0)，则φ′(x)＝e－ex，
易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以e－ex≤0.
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex 答题启示
在证明不等式时，若直接构造函数，很难借助于导数研究其单调性，我们可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，分别研究构造函数的单调性，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．
对点训练
已知函数f(x)＝aex＋x2，g(x)＝sinx＋bx，直线l与曲线C1：y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线C2：y＝g(x)切于点.
(1)求a，b的值和直线l的方程；
(2)证明：aex＋x2－bx－sinx>0.
解　(1)由题可知f′(x)＝aex＋2x，g′(x)＝cosx＋b，f(0)＝a，f′(0)＝a，g＝1＋b，g′＝b，
曲线C1：y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝ax＋a，
曲线C2：y＝g(x)在点处的切线方程为y＝b＋1＋b，即y＝bx＋1.
依题意有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1.
(2)证明：要证aex＋x2－bx－sinx>0，需证aex＋x2>sinx＋bx，
即证aex＋x2－(x＋1)>sinx＋bx－(x＋1)．
由(1)知，a＝b＝1，即证ex＋x2－x－1>sinx－1.
设F(x)＝ex＋x2－x－1，则F′(x)＝ex＋2x－1.
当x∈(－∞，0)时，0 当x∈(0，＋∞)时，ex>1，∴F′(x)>0.
∴F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴F(x)≥F(0)＝0.
设G(x)＝sinx－1，则G(x)≤0，当且仅当x＝2kπ＋(k∈Z)时，等号成立．
又F(x)与G(x)不同时为0，∴F(x)>G(x)．
∴ex＋x2－x－sinx>0，原不等式得证．