2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第3讲　圆的方程

第3讲　圆的方程

基础知识整合

1．圆的定义、方程

(1)在平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．

(2)确定一个圆的基本要素：圆心和半径.

(3)圆的标准方程

(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．

(4)圆的一般方程

①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；

②方程表示圆的充要条件：D2＋E2－4F>0；

③圆心坐标：，

半径r＝.

2．点与圆的位置关系

(1)理论依据

点与圆心的距离与半径的大小关系．

(2)三个结论

圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，d为圆心到点M的距离．

①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上⇔d＝r；

②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外⇔d>r；

③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内⇔d<r.

求圆的方程，如果能借助圆的几何性质，能使解题思路简化减少计算量，常用的几何性质有：

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)

A．－ B．－

C． D．2

答案　A

解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－.故选A．

2．(2019·江西南昌模拟)若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,1) B．(－，)

C．(－，) D．

答案　C

解析　∵原点(0,0)在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－<m<，故选C．

3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2) B．

C．(－2,0) D．

答案　D

解析　由圆的一般方程的系数关系可得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2<a<.

4．圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)

A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0

答案　B

解析　设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，

∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2.

∵点(3,1)在圆上，

∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5.

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.

5．(2019·福建厦门模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)

A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4

D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

答案　A

解析　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得，则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得，(x－2)2＋(y＋1)2＝1.

6．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．

答案　x2＋y2－2x＝0

解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，

则解得

所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.

核心考向突破

考向一　求圆的方程

例1　(1)(2019·海南海口模拟)已知圆M与直线3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝－x－4上，则圆M的方程为(　　)

A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1

B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

答案　C

解析　到两直线3x－4y＝0,3x－4y＋10＝0的距离都相等的直线方程为3x－4y＋5＝0，联立得方程组解得又两平行线间的距离为2，所以圆M的半径为1，从而圆M的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故选C．

(2)已知圆的圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)，则圆的方程为________．

答案　x2＋y2＋2x＋4y－5＝0

解析　解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由题意得解得

故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

解法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.

由题意得解得

故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.

求圆的方程的两种方法

(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

[即时训练]　1.已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)

A．2＋y2＝ B．2＋y2＝

C．2＋y2＝ D．2＋y2＝

答案　C

解析　因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y－＝2(x－1)上．

又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.则圆E的半径为EB＝＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.

2．(2019·江苏镇江模拟)圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________.

答案　(x－1)2＋(y＋4)2＝8

解析　设圆心A的坐标为(x，－4x)，则kAP＝，

kl＝－1，又圆A与直线l相切，∴kAP·kl＝－1，

∴x＝1，∴A(1，－4)，r＝＝2，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

考向二　与圆有关的轨迹问题

例2　(2019·内蒙古模拟)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．

(1)求圆C1的圆心坐标；

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．

解　(1)由x2＋y2－6x＋5＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圆C1的圆心坐标为(3,0)．

(2)设点M(x，y)，

因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，

所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时，可得·＝－1，

整理得2＋y2＝，

又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3,0)，代入上式成立．

设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，消去y得，(1＋k2)x2－6x＋5＝0.

令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此<x≤3.所以线段AB的中点M的轨迹的方程为2＋y2＝.

求与圆有关的轨迹方程的方法

[即时训练]　3.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

因为P点在圆x2＋y2＝4上，

所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．

(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，

所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.

故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

角度1　借助于几何性质求最值

例3　(1)圆A：x2＋y2－4x＋4y＋6＝0上的动点M到坐标原点O的距离的最大值、最小值分别是________，________.

答案　3　

解析　∵⊙A：(x－2)2＋(y＋2)2＝2，∴圆心A(2，－2)，半径r＝，∴|OA|＝2，则|OM|max＝2＋＝3，|OM|min＝2－＝.

(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

①求的最大值和最小值；

②求y－x的最大值和最小值；

③求x2＋y2的最大值和最小值．

解　①原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.

所以的最大值为，最小值为－.

②y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.

所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

③x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，

x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.

角度2　构建目标函数求最值

例4　(2019·江西新余模拟)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)

A．7 B．6

C．5 D．4

答案　B

解析　解法一：由(x－3)2＋(y－4)2＝1，

知圆上点P(x0，y0)可化为

∵∠APB＝90°，即·＝0，

∴(x0＋m)(x0－m)＋y＝0，

∴m2＝x＋y＝26＋6cosθ＋8sinθ

＝26＋10sin(θ＋φ)，

∴4<m≤6，即m的最大值为6.故选B．

解法二：∵在Rt△APB中，原点O为斜边中点，|AB|＝2m(m>0)，

∴m＝|OP|≤|OC|＋r，C(3,4)，r＝1，∴|OP|≤6，

即m≤6.故选B．

与圆有关的最值问题的求解方法

(1)借助几何性质求最值

①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；

②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

(2)建立函数关系式求最值

根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的．

[即时训练]　4.(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)

A．[2,6] B．[4,8]

C．[，3] D．[2，3]

答案　A

解析　∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于点A，B，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2.∵点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线的距离d1＝＝2，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[，3]，则S△ABP＝|AB|d2＝d2∈[2,6]．故选A．

5．设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)．则·的最大值为________．

答案　12

解析　由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.