2021高三统考北师大版数学一轮学案：第7章第2讲　一元二次不等式的解法


第2讲　一元二次不等式的解法
基础知识整合

1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．三个二次之间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象



一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
有两相异
实根x1，x2
(x1 有两相等
实根x1＝x2
＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x>x2
或x {x|x≠x1}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
{x|x1 ∅
∅


1．ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
2．ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R).
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2019·成都模拟)不等式2x2－x－3>0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0，解得x>或x<－1.∴不等式2x2－x－3>0的解集为，故选B.
2．不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　)
A．∅ B．R
C. D.
答案　C
解析　因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为.
3．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－2,2)
B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)
D．(－∞，2)
答案　B
解析　∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2 4．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　B
解析　依题意，得q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故选B.
5．不等式<0的解集是(　　)
A. B．{x|3 C. D.
答案　C
解析　不等式<0等价于(x－4)>0，所以不等式的解集是.
6．若关于x的不等式ax2＋2x＋2>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　当a＝0时，原不等式可化为2x＋2>0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需解得a>.综上，所求实数a的取值范围是.
核心考向突破
考向一　一元二次不等式的解法　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1　解下列关于x的不等式：
(1)0 (2)ax2－(a＋1)x＋1<0.
解　(1)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，
故原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2 (2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0.
①当a＝0时，解不等式，得x>1；
②当0 ③当a>1时，解不等式，得 ④当a＝1时，不等式无解；
⑤当a<0时，不等式化为(x－1)>0，
解不等式，得x<或x>1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}；
当0 当a>1时，不等式的解集为 当a<0时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅.



1．解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．
(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式的解集为R或∅)．
(3)求：求出对应的一元二次方程的根．
(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法
(1)当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．



[即时训练]　1.解不等式：(1)≥－1；
(2)x2－(a2＋a)x＋a3>0.
解　(1)将原不等式移项通分得≥0，
等价于
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0，
①当a2－a>0，即a>1或a<0时，
解不等式，得x>a2或x ②当a2－a<0，即0 解不等式，得xa；
③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，
解不等式，得x≠a.
综上①②③得，当a>1或a<0时，不等式的解集为
{x|x>a2或x 当0a}；
当a＝0或a＝1时，不等式的解集为{x|x≠a}．
考向二　三个二次的关系
例2　(1)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0的解集为(　　)
A. B．(－∞，1)∪
C．(－1,4) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案　A
解析　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－4,1)，知a<0且－4,1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．
∴－4＋1＝－，且－4×1＝，即b＝3a，c＝－4a.则所求不等式转化为3a(x2－1)＋a(x＋3)－4a>0，
即3x2＋x－4<0，解得－ (2)若关于x的不等式ax>b的解集为，则关于x的不等式ax2＋bx－a>0的解集为________．
答案　
解析　由ax>b的解集为，可知a<0，且＝.将不等式ax2＋bx－a>0两边同时除以a，得x2＋x－<0，所以x2＋x－<0，即5x2＋x－4<0，解得－10的解集为.


[即时训练]　2.(2019·重庆模拟)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝(　　)
A. B．
C. D．
答案　A
解析　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，得a＝.故选A.
3．若x2＋px＋q<0的解集为，则不等式qx2＋px＋1>0的解集为________．
答案　{x|－2 解析　∵x2＋px＋q<0的解集为，∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，由根与系数的关系，得∴
∴不等式qx2＋px＋1>0，可化为－x2＋x＋1>0，
即x2－x－6<0，∴－2 ∴不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2 精准设计考向，多角度探究突破
考向三　一元二次不等式恒成立问题
角度1　　形如f(x)≥0(x∈R)
例3　(1)(2019·河南郑州期末)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)
A．(－3,0] B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0)
答案　D
解析　设f(x)＝2kx2＋kx－，
因为2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，
所以k≠0.
又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
即函数f(x)＝2kx2＋kx－的图象全部在x轴的下方，
则有
解得－3 (2)若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(－2,2]
答案　D
解析　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立的条件为当a＝2时，－4<0恒成立；当a≠2时，
解得－2 故－2 角度2　　形如f(x)≥0(x∈[a，b])
例4　(1)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0，
所以解得－ (2)已知x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,2) B．(2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(0,4)
答案　A
解析　二次函数图象开口向上，对称轴为x＝.
x∈[－1,1]时，f(x)＝x2－ax＋>0恒成立，
即f(x)min>0.
①当≤－1，即a≤－2时，f(x)min＝f(－1)＝1＋a＋>0，解得a>－，与a≤－2矛盾；
②当≥1，即a≥2时，f(x)min＝f(1)＝1－a＋>0，解得a<2，与a≥2矛盾；
③当－1<<1，即－20，解得0 综上可得，实数a的取值范围是(0,2)．
角度3　　形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])
例5　(2019·江西八校联考)若对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是(　　)
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.当x＝2时，f(x)＝0，不符合题意；当x>2时，(x－2)·(－1)＋x2－4x＋4>0，得x>3；当x<2时，(x－2)·1＋x2－4x＋4>0，得x<1.综上，x<1或x>3.故选B.


一元二次不等式恒成立问题的求解思路
(1)形如f(x)≥0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．



(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，可根据函数的单调性求其最小值(或最大值)，从而求参数的范围．

(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．




[即时训练]　4.若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4,20] D．[－40,20)
答案　B
解析　根据已知，可转化为当－1≤x≤3时，存在x0∈[－1,3]，使得x2＋4x－(1＋a)≤0.令f(x)＝x2＋4x－(1＋a)，易知函数在区间[－1,3]上为增函数，故只需函数的最小值f(－1)＝－4－a≤0即可，解得a≥－4.
5．在R上定义运算：≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　D
解析　由定义知，|x－1　a－2
a＋1　x|≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，
∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立，
∵x2－x＋1＝2＋≥，
∴a2－a≤，解得－≤a≤，
则实数a的最大值为.故选D.
6．对于满足|a|≤2的所有实数a，使不等式x2＋ax＋1>2x＋a成立的x的取值范围为________．
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析　原不等式转化为(x－1)a＋x2－2x＋1>0，设f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，则f(a)在[－2,2]上恒大于0，故有即
解得所以x<－1或x>3.

已知关于x的不等式(ax－a2－4)(x－4)>0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时，实数a的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
答案　D
解析　已知关于x的不等式(ax－a2－4)(x－4)>0，①当a<0时，(x－4)<0，其中a＋<0，故解集为，由于a＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－a＝－，即a＝－2时取等号，所以a＋的最大值为－4，即当且仅当a＋＝－4时，A中共含有的整数个数最少，此时实数a的值为－2；②当a＝0时，－4(x－4)>0，解集为(－∞，4)，整数解有无穷个，故a＝0不符合条件；③当a>0时，(x－4)>0，其中a＋≥4，故解集为(－∞，4)∪，整数解有无穷多个，故a>0不符合条件．综上所述，a＝－2.
答题启示
若未知数的系数中含有参数，一般采用分类讨论思想解决问题，如本题中需要分a<0，a＝0，a>0三种情况进行讨论，特别是a<0的情况下，将二次项的系数化为1时，切记不等号的方向要改变．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
对点训练
(2019·云南昆明模拟)若关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
答案　B
解析　原不等式等价于(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1