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2021届高考数学人教版一轮创新教学案：第6章第2讲 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
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第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[考纲解读] 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点)
2．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2021年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型.
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3．重要结论
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(3)最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．
4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤
(1)作可行域；
(2)将目标函数进行变形；
(3)确定最优解；
(4)求最值．
1．概念辨析
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．小题热身
(1)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7
答案 5
解析 由题意可得可行域为如图所示(含边界)，z＝x＋2y，即y＝－x＋z，则在点A处取得最小值，联立
解得∴A(1,2)．
代入z＝x＋2y得最小值5.
(3)(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件
则z＝x＋y的最大值为________．
答案 9
解析 不等式组表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9.
题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．不等式组所围成的平面区域的面积为( )
A．3 B．6
C．6 D．3
答案 D
解析 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,0)，B(4，4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝×(2×4－2×1)＝3.
2．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0
解析 作出不等式组
表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.
1．解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．如举例说明1.
2．根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．如举例说明2.
(2019·南昌一模)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC(含边界)，
由得点A(2,1)，由得点C(1，2)，又直线OA的斜率为kOA＝，直线OC的斜率为kOC＝2，而直线y＝kx表示过原点O的直线，因此根
据题意可得kOA≤k≤kOC，即≤k≤2.
题型 二 线性规划中的最值问题
角度1 求线性目标函数的最值
1．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件
则z＝3x－y的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由
解得
即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.
角度2 由目标函数最值求参数
2．(2019·华南师大附中二模)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
答案 A
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．
当直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.
角度3 非线性目标函数的最值问题
3．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
解 作出可行域，如图阴影部分所示．
通过联立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．
过点M作AC的垂线，垂足为点N，
故|MN|＝＝，|MN|2＝2＝.
故z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
因为kQA＝，kQB＝，所以z的范围是.
求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．如举例说明1.
(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略
解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：
①对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题．如举例说明3.
②对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等．如举例说明3.
③对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．
1．(2019·南昌模拟)已知实数x，y满足不等式组则z＝的取值范围是________．
答案
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝表示可行域中的动点(x，y)与定点P(－1，－3)连线的斜率．由图可得，当直线经过点A时，斜率最小；当直线经过点O时，斜率最大．
由易得A(3,0)，由易得O(0，0)，故kPA＝＝，kPO＝＝3.所以z＝的取值范围是.
2．已知实数x，y满足若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数多个，则z＝x＋ay的最大值为________．
答案
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.
当a＞0时，y＝－x＋z，作直线l0：y＝－x，平移l0，易知当直线y＝－x＋z与4x＋y－8＝0重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a＝，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax＝3＋＝；当a≤0时，数形结合知，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述zmax＝.
题型 三 线性规划的实际应用
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．
该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产产品A x件，产品B y件，依题意，得
设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则Emax＝216000.
线性规划解决实际问题的一般步骤
(1)能建立线性规划模型的实际问题
①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；
②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
(2)解决线性规划实际问题的一般步骤
①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
②求解：解决这个纯数学的线性规划问题；
③作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元
C．36800元 D．38400元
答案 C
解析 设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为
目标函数为z＝1600x＋2400y.
画出可行域，如图中阴影部分所示，
可知目标函数过点N时，取得最小值，
由解得故N(5,12)，
故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．
组 基础关
1．(2019·贵阳期中)不等式组表示的平面区域为( )
答案 B
解析 选特殊点(0,6)检验，当x＝0，y＝6时，y<－3x＋12成立，x<2y成立，所以点(0,6)在不等式组表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B.
2．不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
答案 B
解析 不等式组
表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
3．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19
C．21 D．45
答案 C
解析 在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以及直线l：3x＋5y＝0，平移直线l，可知当直线z＝3x＋5y过点C(2,3)时，z取得最大值为3×2＋5×3＝21.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
答案 B
解析 如图，已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3，0)，C(1,3). 根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
5．(2020·琼海摸底)若实数x，y满足则z＝2x·8y的最大值是( )
A．4 B．8
C．16 D．32
答案 D
解析 先根据实数x，y满足画出可行域(如图阴影部分所示)，
由解得A，
当直线u＝x＋3y过点A时，u取得最大值是＋3×＝5，则z＝2x·8y＝2x＋3y的最大值为25＝32.
6．(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分．由图可知k＝在点A(－1,3)处取得最小值－3，且斜率k小于直线x＋y＝1的斜率－1.故－3≤k<－1.所以－1<≤－.故0<≤.
7．若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
答案 B
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可以看出，当－1<－<2，即－4
则z＝x＋2y－4的最大值是________．
答案 21
解析 画出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示，由解得点B(7,9)，则目标函数z＝x＋2y－4经过点B(7,9)时，z取得最大值为7＋18－4＝21.
9．(2019·河南安阳模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(x，y)，且变量x，y满足则z＝a·b的最大值为________．
答案
解析 a·b＝2x＋3y，作出题中可行域，如图△OAB内部(含边界)，
作直线l：2x＋3y＝0，向上平移直线l.
当直线过点A时，z＝2x＋3y＝为最大值．
10．(2019·厦门模拟)若x，y满足约束条件
则z＝x2＋y2的最大值为________．
答案 25
解析 不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方．z＝x2＋y2的最大值对应的点为A.由解得
则A(4,3)．所以z＝x2＋y2的最大值为|OA|2＝42＋32＝25，因此z＝x2＋y2的最大值为25.
组 能力关
1．已知O为坐标原点，A(2,0)，若点P(x，y)满足则向量在方向上投影的最大值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 由约束条件
作出可行域如图所示，
联立
解得B(5,2)．
∵A(2,0)，∴＝(2,0)，||＝2，
由B(5,2)，得＝(5,2)，||＝，∴cos∠AOB＝＝.由图可知，当P与B重合时，向量在方向上投影有最大值，等于||cos∠AOB＝5.
2．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q ②綈p∨q ③p∧綈q ④綈p∧綈q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
答案 A
解析 解法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．故选A.
解法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．故选A.
3．过平面区域内一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，则当α最小时cosα的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可．
由图象可知当P位于点D时，∠APB＝α最小，
由
解得即P(－4，－2)，
此时|OP|＝＝2，
|OA|＝1，则∠APO＝，即sin＝＝，此时cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
4．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按5天计算)生产A，B，C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品)，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：
产品名称
A
B
C
天
产值(单位：万元)
4
2
则每周最高产值是( )
A．30万元 B．40万元
C．47.5万元 D．52.5万元
答案 D
解析 设每周生产A产品x吨，B产品y吨，则生产C产品15－x－y吨，产值为z万元．目标函数为z＝4x＋y＋2(15－x－y)＝2x＋y＋30，包含的约束条件为
即
可行域如图(阴影部分)所示，
化目标函数z＝2x＋y＋30为y＝－x＋－20.
由图可知，当直线y＝－x＋－20过点B(0,15)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝×15＋30＝52.5.
5．已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则z＝y－ax(a≠0)的最小值为________．
答案 －2
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
易得A(1,0)，B(2,0)，C(3,2)，
由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.
当a>0时，作直线l0：y＝ax＋z，平移l0可知，当y＝ax＋z与x－y－1＝0重合时，z取得最大值的最优解有无数个，此时a＝1.
当直线过B点时，z有最小值zmin＝0－1×2＝－2；
当a<0时，数形结合知，z＝y－ax取得最大值的最优解不可能无限多．
综上可知zmin＝－2.
第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
[考纲解读] 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(重点)
2．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考必考内容．预测2021年的考查，主要命题方向为：在约束条件下求目标函数的最值或根据最值情况求参数，同时能用线性规划解决实际问题．试题以客观题形式呈现，属中档题型.
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C＞0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
3．重要结论
(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：
对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；
②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．
(3)最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解有时唯一，有时有多个．
4．利用线性规划求最值，用图解法求解的步骤
(1)作可行域；
(2)将目标函数进行变形；
(3)确定最优解；
(4)求最值．
1．概念辨析
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( )
(2)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( )
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．小题热身
(1)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )
A．(－7,24)
B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
C．(－24,7)
D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
答案 A
解析 由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)(a－24)<0，所以－7
答案 5
解析 由题意可得可行域为如图所示(含边界)，z＝x＋2y，即y＝－x＋z，则在点A处取得最小值，联立
解得∴A(1,2)．
代入z＝x＋2y得最小值5.
(3)(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件
则z＝x＋y的最大值为________．
答案 9
解析 不等式组表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)为顶点的三角形区域，如图所示，由图可知目标函数z＝x＋y的最大值在顶点A处取得，即当x＝5，y＝4时，zmax＝9.
题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
1．不等式组所围成的平面区域的面积为( )
A．3 B．6
C．6 D．3
答案 D
解析 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2,0)，B(4，4)，C(1,1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝×(2×4－2×1)＝3.
2．若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是( )
A．a≥ B．0
解析 作出不等式组
表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．故选D.
1．解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解．如举例说明1.
2．根据平面区域确定参数的方法
在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．如举例说明2.
(2019·南昌一模)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC(含边界)，
由得点A(2,1)，由得点C(1，2)，又直线OA的斜率为kOA＝，直线OC的斜率为kOC＝2，而直线y＝kx表示过原点O的直线，因此根
据题意可得kOA≤k≤kOC，即≤k≤2.
题型 二 线性规划中的最值问题
角度1 求线性目标函数的最值
1．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x，y满足约束条件
则z＝3x－y的最大值是________．
答案 9
解析 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大．
由
解得
即C点坐标为(3,0)，故zmax＝3×3－0＝9.
角度2 由目标函数最值求参数
2．(2019·华南师大附中二模)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
答案 A
解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．
当直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由
得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.
角度3 非线性目标函数的最值问题
3．已知求：
(1)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；
(2)z＝的范围．
解 作出可行域，如图阴影部分所示．
通过联立方程，解得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)．
(1)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内点(x，y)到点M(0,5)的距离的平方．
过点M作AC的垂线，垂足为点N，
故|MN|＝＝，|MN|2＝2＝.
故z的最小值为.
(2)z＝2·表示可行域内点(x，y)与定点Q连线斜率的2倍．
因为kQA＝，kQB＝，所以z的范围是.
求线性目标函数最值问题及线性规划应用题的解题策略
(1)求线性目标函数的最值．线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以我们可以直接解出可行域的顶点，然后代入目标函数以确定目标函数的最值．如举例说明1.
(2)由目标函数的最值求参数的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．
(3)求非线性目标函数最值问题的解题策略
解决此类问题时需充分把握好目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义有：
①对形如z＝(x－a)2＋(y－b)2型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题．如举例说明3.
②对形如z＝(ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等．如举例说明3.
③对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先变形为z＝·的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍的最值．
1．(2019·南昌模拟)已知实数x，y满足不等式组则z＝的取值范围是________．
答案
解析 作出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．目标函数z＝表示可行域中的动点(x，y)与定点P(－1，－3)连线的斜率．由图可得，当直线经过点A时，斜率最小；当直线经过点O时，斜率最大．
由易得A(3,0)，由易得O(0，0)，故kPA＝＝，kPO＝＝3.所以z＝的取值范围是.
2．已知实数x，y满足若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数多个，则z＝x＋ay的最大值为________．
答案
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易得A(3,2)，B(1,4)，C.
当a＞0时，y＝－x＋z，作直线l0：y＝－x，平移l0，易知当直线y＝－x＋z与4x＋y－8＝0重合时，z取得最小值的最优解有无数多个，此时a＝，当直线过点A时，z取得最大值，且zmax＝3＋＝；当a≤0时，数形结合知，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解不可能有无数多个．综上所述zmax＝.
题型 三 线性规划的实际应用
(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．
该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
答案 216000
解析 设生产产品A x件，产品B y件，依题意，得
设生产产品A，产品B的利润之和为E元，则E＝2100x＋900y.画出可行域(如图)，易知最优解为则Emax＝216000.
线性规划解决实际问题的一般步骤
(1)能建立线性规划模型的实际问题
①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大；
②给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．
(2)解决线性规划实际问题的一般步骤
①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题；
②求解：解决这个纯数学的线性规划问题；
③作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元
C．36800元 D．38400元
答案 C
解析 设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为
目标函数为z＝1600x＋2400y.
画出可行域，如图中阴影部分所示，
可知目标函数过点N时，取得最小值，
由解得故N(5,12)，
故zmin＝1600×5＋2400×12＝36800(元)．
组 基础关
1．(2019·贵阳期中)不等式组表示的平面区域为( )
答案 B
解析 选特殊点(0,6)检验，当x＝0，y＝6时，y<－3x＋12成立，x<2y成立，所以点(0,6)在不等式组表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B.
2．不等式组表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
答案 B
解析 不等式组
表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即为所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2,2)，C(3,0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
3．(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝3x＋5y的最大值为( )
A．6 B．19
C．21 D．45
答案 C
解析 在平面直角坐标系中画出可行域ABCD以及直线l：3x＋5y＝0，平移直线l，可知当直线z＝3x＋5y过点C(2,3)时，z取得最大值为3×2＋5×3＝21.
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋5y的最小值为( )
A．－4 B．6
C．10 D．17
答案 B
解析 如图，已知约束条件所表示的平面区域为图中所示的三角形区域ABC(包含边界)，其中A(0,2)，B(3，0)，C(1,3). 根据目标函数的几何意义，可知当直线y＝－x＋过点B(3,0)时，z取得最小值2×3＋5×0＝6.
5．(2020·琼海摸底)若实数x，y满足则z＝2x·8y的最大值是( )
A．4 B．8
C．16 D．32
答案 D
解析 先根据实数x，y满足画出可行域(如图阴影部分所示)，
由解得A，
当直线u＝x＋3y过点A时，u取得最大值是＋3×＝5，则z＝2x·8y＝2x＋3y的最大值为25＝32.
6．(2019·华中师范大学第一附中模拟)已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分．由图可知k＝在点A(－1,3)处取得最小值－3，且斜率k小于直线x＋y＝1的斜率－1.故－3≤k<－1.所以－1<≤－.故0<≤.
7．若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A．[－4,2] B．(－4,2)
C．[－4,1] D．(－4,1)
答案 B
解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z＝ax＋2y的斜率为k＝－，从图中可以看出，当－1<－<2，即－4
则z＝x＋2y－4的最大值是________．
答案 21
解析 画出x，y满足的可行域，如图中阴影部分所示，由解得点B(7,9)，则目标函数z＝x＋2y－4经过点B(7,9)时，z取得最大值为7＋18－4＝21.
9．(2019·河南安阳模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(x，y)，且变量x，y满足则z＝a·b的最大值为________．
答案
解析 a·b＝2x＋3y，作出题中可行域，如图△OAB内部(含边界)，
作直线l：2x＋3y＝0，向上平移直线l.
当直线过点A时，z＝2x＋3y＝为最大值．
10．(2019·厦门模拟)若x，y满足约束条件
则z＝x2＋y2的最大值为________．
答案 25
解析 不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z＝x2＋y2表示可行域内的点到原点距离的平方．z＝x2＋y2的最大值对应的点为A.由解得
则A(4,3)．所以z＝x2＋y2的最大值为|OA|2＝42＋32＝25，因此z＝x2＋y2的最大值为25.
组 能力关
1．已知O为坐标原点，A(2,0)，若点P(x，y)满足则向量在方向上投影的最大值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 C
解析 由约束条件
作出可行域如图所示，
联立
解得B(5,2)．
∵A(2,0)，∴＝(2,0)，||＝2，
由B(5,2)，得＝(5,2)，||＝，∴cos∠AOB＝＝.由图可知，当P与B重合时，向量在方向上投影有最大值，等于||cos∠AOB＝5.
2．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题：
①p∨q ②綈p∨q ③p∧綈q ④綈p∧綈q
这四个命题中，所有真命题的编号是( )
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
答案 A
解析 解法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．
由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．
∴①③真，②④假．故选A.
解法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．故选A.
3．过平面区域内一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB＝α，则当α最小时cosα的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可．
由图象可知当P位于点D时，∠APB＝α最小，
由
解得即P(－4，－2)，
此时|OP|＝＝2，
|OA|＝1，则∠APO＝，即sin＝＝，此时cosα＝1－2sin2＝1－2×2＝1－＝.
4．某生产厂家根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按5天计算)生产A，B，C三种产品共15吨(同一时间段内只能生产一种产品)，已知生产这些产品每吨所需天数和每吨产值如表：
产品名称
A
B
C
天
产值(单位：万元)
4
2
则每周最高产值是( )
A．30万元 B．40万元
C．47.5万元 D．52.5万元
答案 D
解析 设每周生产A产品x吨，B产品y吨，则生产C产品15－x－y吨，产值为z万元．目标函数为z＝4x＋y＋2(15－x－y)＝2x＋y＋30，包含的约束条件为
即
可行域如图(阴影部分)所示，
化目标函数z＝2x＋y＋30为y＝－x＋－20.
由图可知，当直线y＝－x＋－20过点B(0,15)时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝×15＋30＝52.5.
5．已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则z＝y－ax(a≠0)的最小值为________．
答案 －2
解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
易得A(1,0)，B(2,0)，C(3,2)，
由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.
当a>0时，作直线l0：y＝ax＋z，平移l0可知，当y＝ax＋z与x－y－1＝0重合时，z取得最大值的最优解有无数个，此时a＝1.
当直线过B点时，z有最小值zmin＝0－1×2＝－2；
当a<0时，数形结合知，z＝y－ax取得最大值的最优解不可能无限多．
综上可知zmin＝－2.
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