2021高三统考北师大版数学一轮学案：第1章第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

基础知识整合

1．命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2．四种命题及其关系

3．充分条件、必要条件与充要条件的概念

1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件．

(2)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的充分不必要条件．

4．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A⃘B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

1．(2019·江西南昌模拟)若集合A＝{2,4}，B＝{1，m2}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m2＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B．

2．(2019·天津高考)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由|x－1|<1可得0<x<2，所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．故选B．

3．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

答案　C

解析　当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．

4．(2019·湖南衡阳模拟)a<0，b<0的一个必要条件为(　　)

A．a＋b<0 B．a－b>0

C．>1 D．<－1

答案　A

解析　若a<0，b<0，则一定有a＋b<0，故选A．

5．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是________.

答案　若x，y∈R，x2＋y2≠0，则x，y不全为0

解析　根据命题“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”，其原命题的否命题是“若x，y∈R，x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．

6．已知p：x2－7x＋10<0，q：x2－4mx＋3m2<0，其中m>0.若¬q是¬p的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________.

答案　≤m≤2

解析　由¬q是¬p的充分不必要条件知p是q的充分不必要条件，又p：2<x<5，q：m<x<3m，

所以即≤m≤2.

核心考向突破

考向一　四种命题及其相互关系

例1　写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：

(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；

(2)在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B；

(3)若x2－2x－3>0，则x<－1或x>3.

解　(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．

逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.

否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．

逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.

这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．

(2)逆命题：在△ABC中，若∠C>∠B，则AB>AC．

否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B．

逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC．

这里，四种命题都是真命题．

(3)逆命题：若x<－1或x>3，则x2－2x－3>0.

否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.

逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.

这里，四种命题都是真命题．

(1)写一个命题的其他三种命题时，不是“若p则q”形式的命题，需先改写．若命题有大前提，需保留大前提，本例(2)中，大前提“在△ABC中”需保留．

(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．

(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

[即时训练]　1.给出下列四个命题：

①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若c≤1，则x2＋2x＋c ＝0有实根”的逆命题；

④“若A∪B＝A，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

答案　A

解析　①逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；②否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，是假命题；③逆命题是“若x2＋2x＋c＝0有实根，则c≤1”，∵方程x2＋2x＋c＝0有实根，∴Δ＝4－4c≥0，∴c≤1，∴③是真命题；④∵若A∪B＝A，则B⊆A，∴“若A∪B＝A，则A⊆B”是假命题，∴其逆否命题也是假命题．故选A．

角度1　　定义法判断充分、必要条件

例2　(2019·浙江高考)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　∵a>0，b>0，若a＋b≤4，∴2≤a＋b≤4.∴ab≤4，此时充分性成立．

当a>0，b>0，ab≤4时，令a＝4，b＝1，则a＋b＝5>4，这与a＋b≤4矛盾，因此必要性不成立．

综上所述，当a>0，b>0时，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A．

角度2　　集合法判断充分、必要条件

例3　(2018·天津高考)设x∈R，则“|x－|<”是“x3 <1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　|x－|<⇒0<x<1，x3<1⇒x<1，∵{x|0<x<1}{x|x<1}，∴|x－|<是x3<1的充分不必要条件．

角度3　　等价转化法判断充分、必要条件

例4　给定两个命题p，q.若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为¬p是q的必要不充分条件，则q⇒¬p但¬pq，其逆否命题为p⇒¬q但¬qp，所以p是¬q的充分不必要条件．

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．

(2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件．

[即时训练]　2.设条件p：a2＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　条件p：a2＋a≠0，即a≠0且a≠－1.故条件p：a2＋a≠0是条件q：a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．

3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由Venn图易知充分性成立．反之，A∩B＝∅时，不妨取C＝∁UB，此时A⊆C，故必要性成立．故选C．

4．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cosx≠cosy”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　因为x＝y⇒cosx＝cosy，而cosx＝cosy  x＝y，所以“cosx＝cosy”是“x＝y”的必要不充分条件，即“x≠y”是“cosx≠cosy”的必要不充分条件．

考向三　充分、必要条件的探求与应用

例5　(1)(2019·惠州二调)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)

A．m> B．0<m<1

C．m>0 D．m>1

答案　C

解析　不等式x2－x＋m>0在R上恒成立⇔1－4m<0，得m>，在选项中只有“m>0”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的必要不充分条件，故选C．

(2)已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　　)

A．(－∞，－7)∪(1，＋∞) B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)

C．(－7,1) D．[－7,1]

答案　B

解析　由(x－m)2>3(x－m)得x<m或x>3＋m，所以p：x<m或x>3＋m；解x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以q：－4<x<1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B．

1．条件、结论的相对性

充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB．以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆．

2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

[即时训练]　5.(2019·广东江门模拟)若a，b都是正整数，则a＋b>ab成立的充要条件是(　　)

A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1

C．a＝b＝2 D．a>1且b>1

答案　B

解析　因为a＋b>ab，所以(a－1)(b－1)<1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B．

6．已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．(－∞，1]

C．[－1，＋∞] D．(－∞，－3]

答案　A

解析　由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.故选A．

(2019·海口模拟)设p：2x2－3x＋1≤0；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　)

A.

B.

C．(－∞，0]∪

D．(－∞，0)∪

答案　A

解析　由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，

由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，

由綈p是綈q的必要不充分条件，知p是q的充分不必要条件，即≤x≤1{x|a≤x≤a＋1}，

∴∴0≤a≤.

经检验a＝0，时符合题意，

故实数a的取值范围是.

答题启示

(1)当题目的条件或所求问题中含有綈p，綈q时，可利用命题与其逆否命题的等价性，转化已知命题．

(2)深刻理解充分、必要条件与集合间的包含关系，培养等价转化的意识．解题时一定要注意区间端点值的取舍．

对点训练

已知集合A＝<2x<8，x∈R，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．

答案　m>2

解析　因为A＝<2x<8，x∈R＝{x|－1<x<3}，x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以AB，所以m＋1>3，即m>2.