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2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第一章第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
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第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
[常用结论与微点提醒]
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，
若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.
答案 D
3.(老教材选修2－1P2例1改编)下面有4个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解可表示为{1，1}.其中真命题的个数为________.
解析 ①为假命题，集合N中最小的数是0；②为假命题，如a＝不满足；③为假命题，如a＝0，b＝1，a＋b＝1，比2小；④为假命题，所给集合中的元素不满足互异性.
答案 0
4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－6
5.(2019·郑州模拟)已知p：x>a是q：2a}，∴a≤2.
答案 (－∞，2]
6.(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－1
考点一 命题及其关系
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B.“若am2
D.“若sin α≠，则α≠”是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；
对于B项，若“am2
对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”是真命题，故原命题是真命题.
(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】 (1)(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( )
A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0
B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列
C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件
D.命题“若
B错，an＝0为常数列，但{an}不是等比数列；
C正确，由于A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
D错，若{an}递减，则an＋1
答案 (1)C (2)[0，1)
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
(2)由5x－6>x2，得2
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
答案 (1)A (2)A
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】 (1)(2019·天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的________条件.
解析 (1)由“x2－5x<0”可得“0
当f(x)为奇函数时，
f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件.
答案 (1)B (2)充要
考点三 充分、必要条件的应用 典例迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【迁移2】 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q p，即PS.
∴或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】 (2020·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x－1|
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
解析 |x－1|
A级 基础巩固
一、选择题
1.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.
答案 D
2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.否定
解析 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.
答案 B
3.(2020·贵阳检测)在等比数列{an}中，“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a＝1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由a1＋a3＝－3，a1·a3＝1⇒a＝a1·a3＝1，
但a＝1⇒/ a1＋a3＝－3.因而“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是a＝1的充分不必要条件.
答案 A
4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
A.ac2>bc2 B.>1
C.a－c>b－c D.a2>b2
解析 对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2
5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
解析 原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
答案 C
6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
7.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.(2017·北京卷改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
10.有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.
答案 ②③
11.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
12.“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的__________条件.
解析 当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，则f(x)是奇函数，充分性成立.
若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
B级 能力提升
13.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5⇔d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.(2020·合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|).
又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
若a>|b|，则f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立；
若f(a)>f(b)，则等价为f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|，
即a>|b|或a<－|b|，即必要性不成立，
则“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件.
答案 A
15.已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.
解析 由2－m>m－1>0，得1
16.(2019·华南师大附中月考)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析 p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.
答案
C级 创新猜想
17.(开放题)(2018·北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________.
解析 若a>b，则<为真命题，则－＝<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则<”为假命题.
答案 a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
[常用结论与微点提醒]
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )
(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，
若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.
答案 D
3.(老教材选修2－1P2例1改编)下面有4个命题：①集合N中最小的数是1；②若－a不属于N，则a属于N；③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；④x2＋1＝2x的解可表示为{1，1}.其中真命题的个数为________.
解析 ①为假命题，集合N中最小的数是0；②为假命题，如a＝不满足；③为假命题，如a＝0，b＝1，a＋b＝1，比2小；④为假命题，所给集合中的元素不满足互异性.
答案 0
4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－6
5.(2019·郑州模拟)已知p：x>a是q：2
答案 (－∞，2]
6.(2020·青岛二中检测)直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解得－1
考点一 命题及其关系
【例1】 (1)下列说法正确的是( )
A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B.“若am2
D.“若sin α≠，则α≠”是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；
对于B项，若“am2
对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”是真命题，故原命题是真命题.
(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】 (1)(2020·石家庄模拟)下列说法中正确的是( )
A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0
B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列
C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件
D.命题“若
B错，an＝0为常数列，但{an}不是等比数列；
C正确，由于A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
D错，若{an}递减，则an＋1
答案 (1)C (2)[0，1)
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)(2019·浙江卷)若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
(2)由5x－6>x2，得2
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
答案 (1)A (2)A
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】 (1)(2019·天津卷)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的________条件.
解析 (1)由“x2－5x<0”可得“0
当f(x)为奇函数时，
f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件.
答案 (1)B (2)充要
考点三 充分、必要条件的应用 典例迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【迁移2】 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q p，即PS.
∴或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】 (2020·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x－1|
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
解析 |x－1|
A级 基础巩固
一、选择题
1.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.
答案 D
2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A.逆命题 B.否命题
C.逆否命题 D.否定
解析 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.
答案 B
3.(2020·贵阳检测)在等比数列{an}中，“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是“a＝1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由a1＋a3＝－3，a1·a3＝1⇒a＝a1·a3＝1，
但a＝1⇒/ a1＋a3＝－3.因而“a1，a3是方程x2＋3x＋1＝0的两根”是a＝1的充分不必要条件.
答案 A
4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
A.ac2>bc2 B.>1
C.a－c>b－c D.a2>b2
解析 对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2
5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
解析 原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.
答案 C
6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
7.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.(2017·北京卷改编)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
10.有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.
答案 ②③
11.已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是
12.“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的__________条件.
解析 当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，则f(x)是奇函数，充分性成立.
若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
B级 能力提升
13.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5⇔d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.(2020·合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(|x|).
又y＝f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
若a>|b|，则f(a)>f(|b|)＝f(b)，即充分性成立；
若f(a)>f(b)，则等价为f(|a|)>f(|b|)，即|a|>|b|，
即a>|b|或a<－|b|，即必要性不成立，
则“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的充分不必要条件.
答案 A
15.已知p：实数m满足3a
解析 由2－m>m－1>0，得1
16.(2019·华南师大附中月考)设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析 p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝，q对应的集合B＝{x|(x－a)[x－(a＋1)]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤且a＋1≥1，因此0≤a≤.
答案
C级 创新猜想
17.(开放题)(2018·北京卷)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________.
解析 若a>b，则<为真命题，则－＝<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则<”为假命题.
答案 a＝1，b＝－1(答案不唯一，只需a>0，b<0)
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