2021高三统考北师大版数学一轮学案：第1章第1讲　集合及其运算

第一章　集合与常用逻辑用语
第1讲　集合及其运算
基础知识整合

1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法

集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R

2．集合间的基本关系
　　表示
关系　　
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素相同
A⊆B且B⊆A
⇔A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB或BA
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
∅⊆A
∅B(B≠∅)

3．集合的基本运算

并集
交集
补集
图形



符号
A∪B＝
{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝
{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝
{x|x∈U且x∉A}


1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.
2．A∪∅＝A，A∪A＝A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．
3．A∩∅＝∅，A∩A＝A，A∩B⊆A，A∩B⊆B．
4．A∩B＝A∪B⇔A＝B．
5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.
6．A∩(∁UA)＝∅；A∪(∁UA)＝U；∁U(∁UA)＝A．
7．(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
8．如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A ∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．

9．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．

1．(2019·浙江高考)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1，0,1}，则(∁UA)∩B＝(　　)
A．{－1} B．{0,1}
C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}
答案　A
解析　∵U＝{－1,0,1,2,3}，A＝{0,1,2}，∴∁UA＝{－1，3}．又B＝{－1,0,1}，∴(∁UA)∩B＝{－1}．故选A．
2．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，A∩(∁UB)＝{3}，则B＝(　　)
A．{1,2} B．{1,2,4}
C．{2,4} D．∅
答案　A
解析　结合Venn图(如图)可知B＝{1,2}，故选A．

3．(2019·河南百校联盟联考)已知集合A＝{(x，y)|y＝x＋1，x∈R}，集合B＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则集合A∩B的子集个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　D
解析　因为直线y＝x＋1与抛物线y＝x2有2个交点，所以集合A∩B有2个元素，故A∩B的子集有4个，故选D．
4．(2019·辽宁丹东测试二)已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　若B为空集，则方程ax＝1无解，解得a＝0；若B不为空集，则a≠0，由ax＝1解得x＝，所以＝－1或＝2，解得a＝－1或a＝，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为，故选D．
5．(2020·镇海中学摸底)设集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝}，则下列结论正确的是(　　)
A．A＝B B．A⊆B
C．B⊆A D．A∩B＝{x|x≥1}
答案　D
解析　∵A＝{y|y＝}＝{y|y≥0}，B＝{x|y＝}＝{x|x≥1或x≤－1}，∴A∩B＝{x|x≥1}，故选D．
6．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
答案　A
解析　∵x2＋y2≤3，∴x2≤3.∵x∈Z，∴x＝－1,0,1.
当x＝－1时，y＝－1,0,1；当x＝0时，y＝－1,0,1；当x＝1时，y＝－1,0,1，综上，A中元素共有9个，故选A．
核心考向突破
考向一　集合的基本概念

例1　(1)(2019·辽宁沈阳模拟)已知集合A＝{y|y＝x2＋2x＋1}，B＝{x|y＝x2＋2x＋1}，则集合A与集合B的关系为(　　)
A．A＝B B．A∈B
C．B⊆A D．AB
答案　D
解析　集合A表示二次函数y＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2中y的取值范围，显然y≥0，即A＝{y|y≥0}；集合B表示函数y＝x2＋2x＋1中x的取值范围，易知x∈R，即B＝R，所以AB．故选D．
(2)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，则a＋b为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．±1
答案　C
解析　由已知得a≠0，则＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去．因此a＝－1，故a＋b＝－1，故选C．

解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件．解本例(1)时要注意，集合A是函数值域构成的数集，集合B是函数定义域构成的数集．
(2)本例(2)中参数的确定，往往要对集合中的元素进行分类讨论，构造方程组求解．同时注意对元素互异性的检验．

[即时训练]　1.(2020·河南洛阳一中月考)设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
解析　若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3.当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1，故选A．
2．设集合A＝，B＝{b，a＋b，－1}，若A∩B＝{2，－1}，则A∪B＝(　　)
A．{2,3} B．{－1,2,5}
C．{2,3,5} D．{－1,2,3,5}
答案　D
解析　由A∩B＝{2，－1}，可得或
当时，此时B＝{2,3，－1}，所以A∪B＝{－1,2,3,5}；当时，此时不符合题意，舍去．故选D．
考向二　集合间的基本关系

例2　(1)(2019·山东日照模拟)已知集合A＝，B＝{x|≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
答案　D
解析　由≤0得0 (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为________.
答案　m<－2或0≤m≤
解析　A＝{x|－1≤x≤6}，若B⊆A，则当B＝∅时，有m－1>2m＋1，即m<－2时，符合题意．
当B≠∅时，有解得0≤m≤.
综上，得实数m的取值范围是m<－2或0≤m≤.

(1)解本例(1)时，要能够将集合间的关系进行等价转化，转化为集合C中哪些元素必有，哪些元素可能有，不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．
①若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性；
②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．

[即时训练]　3.集合M＝，N＝，则两集合M，N的关系为(　　)
A．M∩N＝∅ B．M＝N
C．MN D．NM
答案　D
解析　∵M＝，N＝，又n＋2为整数，2m＋1为奇数，∴NM，故选D．
4．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B⊆A，则实数a的取值范围为________；
(2)若A⊆B，则实数a的取值范围为________.
答案　(1)a≤－1或a＝1　(2)a＝1
解析　由题意，得A＝{－4,0}．
(1)∵B⊆A，∴B＝∅或B＝{－4}或B＝{0}或B＝{－4，0}．
当B＝∅时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，即
Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8a＋8<0，解得a<－1.
当B＝{－4}或B＝{0}时，x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝8a＋8＝0，∴a＝－1，此时B＝{0}，符合条件．
当B＝{－4,0}时，－4和0是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，则解得a＝1.
综上所述，a≤－1或a＝1.
(2)∵A⊆B，∴B＝{－4,0}．由(1)知a＝1.

精准设计考向，多角度探究突破
考向三　集合的基本运算
角度1　　集合间的交、并、补运算

例3　(1)已知全集U＝Z，P＝{－2，－1,1,2}，Q＝{x|x2－3x＋2＝0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{－1，－2} B．{1,2}
C．{－2,1} D．{－1,2}
答案　A
解析　易知所求集合为P∩(∁UQ)，因为Q＝{1,2}，所以P∩(∁UQ)＝{－1，－2}，故选A．
(2)(2019·海口模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，那么集合A∩(∁UB)＝(　　)
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}
答案　D
解析　依题意A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，故∁UB＝{x|－1≤x≤4}，故A∩(∁UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D．

(1)集合基本运算的求解策略
①当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算．
②当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验．
(2)集合的交、并、补运算口诀
交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．

[即时训练]　5.(2019·洛阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
答案　D
解析　依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D．
6．(2020·唐山模拟)若集合A＝{x|－1 A．[0,1) B．(－1，＋∞)
C．(－1,1)∪[2，＋∞) D．∅
答案　C
解析　由题意得B＝{x|x≥2}，所以A∪B＝{x|－1 角度　　利用集合运算求参数

例4　(1)(2019·广西南宁模拟)设集合A＝{x|x(4－x)≥3}，B＝{x|x>a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a<1
C．a≤3 D．a<3
答案　B
解析　由x(4－x)≥3解得1≤x≤3，即集合A＝{x|1≤x≤3}．因A∩B＝A，则A⊆B，而B＝{x|x>a}，所以a<1，故选B．
(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．4
答案　D
解析　根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故a＝4.故选D．

将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．本例(1)易忽视a≠1，而误选A．

[即时训练]　7.设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x A．－12
C．a≥－1 D．a>－1
答案　D
解析　
因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.故选D．
8．已知集合P＝{y|y2－y－2>0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，则a＋b＝________.
答案　－5
解析　P＝{y|y2－y－2>0}＝{y|y>2或y<－1}，
∵P∪Q＝R，P∩Q＝(2,3]，∴Q＝{x|－1≤x≤3}，
∴－1,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系得，－a＝－1＋3＝2，b＝－3，∴a＋b＝－5.

第1讲　函数及其表示
1．(2019·宁夏银川模拟)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素之和为(　　)
A．15 B．16
C．20 D．21
答案　D
解析　由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，即－1≤x≤3，故集合A＝{0,1,2,3}．∵A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，∴A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6.∵A*B＝{1,2,3,4,5,6}，∴A*B中的所有元素之和为21.
2．已知非空集合A，B满足以下两个条件：
(1)A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝∅；
(2)A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．
则有序集合对(A，B)的个数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．6
答案　B
解析　若集合A中只有1个元素，则集合B中有3个元素，则1∉A,3∉B，即3∈A,1∈B，此时有1对；同理，若集合B只有1个元素，则集合A中有3个元素，有1对；若集合A中有2个元素，则集合B中有2个元素，2∉A，2∉B，不满足条件．所以满足条件的有序集合对(A，B)的个数为1＋1＝2，故选B．
答题启示
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
对点训练
1．如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A⊗B为(　　)

A．{x|0 C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}
答案　D
解析　∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，∴A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}．
2．定义集合的商集运算为＝，已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
答案　B
解析　由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素，故选B．