2021届山东高考数学一轮创新教学案：第1章　第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

续表

1．概念辨析

(1)“x－3>0”是命题．(　　)

(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(　　)

(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．(　　)

(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．小题热身

(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是(　　)

A．若x<y，则x2<y2  B．若x≤y，则x2≤y2

C．若x>y，则x2>y2  D．若x≥y，则x2≥y2

答案　B

解析　逆否命题的条件和结论是原命题结论的否定和条件的否定，所以“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．

(2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的(　　)

A．充分条件  B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，

∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．

(3)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“a∈M ”是“a∈N”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为NM，所以“a∈M ”是“a∈N”的必要而不充分条件．

(4)有下列几个命题：

①“若x3＞8，则|x|＞2”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若|x|＜4，则－4＜x＜4”的逆否命题．

其中真命题的序号是________．

答案　②③

解析　①原命题的否命题是“若x3≤8，则|x|≤2”，是假命题；②原命题的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；③原命题是真命题，所以原命题的逆否命题是真命题．

题型 一　命题及其关系　

角度1　命题真假的判断

1．下面的命题中是真命题的是(　　)

A．y＝sin2x的最小正周期为2π

B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则＞0

C．如果M⊆N，那么M∪N＝M

D．在△ABC中，若·＞0，则B为锐角

答案　B

解析　y＝sin2x＝，T＝＝π.所以A是假命题；若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则x1x2＝＞0，所以B是真命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C是假命题；当·＞0时，向量与的夹角为锐角，而B为钝角，故D是假命题．故选B.

2．(2018·北京高考)能说明“若a>b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为________．

答案　1，－1(答案不唯一)

解析　①若a>b>0，则<成立；

②若a>0>b，则>0，<0，

所以<不成立；

③若0>a>b，则<<0成立．

综上，只需选取符合“a>0>b”的一组a，b，就能说明原命题是假命题．

例如，a＝1，b＝－1；a＝2，b＝－1等．

角度2　四种命题的关系

3．命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为(　　)

A．已知0<a<1，若x>0，则ax>1

B．已知a>1，若x≤0，则ax>1

C．已知a>1，若x≤0，则ax≤1

D．已知0<a<1，若x≤0，则ax≤1

答案　C

解析　根据原命题与否命题的关系，得原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则ax≤1”．

4．(2019·济南模拟)原命题：“a，b为两个实数，若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是(　　)

A．原命题是真命题

B．逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，为假命题

C．否命题为：a，b为两个实数，若a＋b<2，则a，b都大于等于1，为假命题

D．逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b<2，为真命题

答案　C

解析　原命题的逆否命题是“a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a＋b＜2”，显然是真命题，故原命题也是真命题，所以A，D正确；B正确，例如：当a＝2，b＝－1时，a＋b＜2.原命题的逆命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题；C错误，原命题的否命题为“a，b为两个实数，若a＋b＜2，则a，b都小于1”．

    1.写一个命题的其他三种命题时的注意事项

    (1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．

    (2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明3中，“已知a>1”是大前提．

(3)注意一些常见词语及其否定表示：

    如举例说明4中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”.

    2.判断命题真假的两种方法

    (1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．如举例说明2.

(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．如举例说明4.

1．(2019·南昌模拟)转化与化归的数学思想很重要，比如要证明命题p：“若a≥，则a·ex≥x”，我们可以证明命题(　　)

A．若a·ex＜x，则a＜  B．若a·ex≤x，则a＜

C．若a·ex＜x，则a≤  D．若a＜，则a·ex＜x

答案　A

解析　由题意可知，应证明命题p的逆否命题，即“若a·ex＜x，则a＜”．

2．已知命题“若x>1，则2x<3x”，则在它的逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是(　　)

A．0  B．1 

C．2  D．3

答案　B

解析　原命题：若x>1，则2x<3x，则它的逆命题：若2x<3x，则x>1，为假命题；否命题：若x≤1，则2x≥3x，为假命题；逆否命题：若2x≥3x，则x≤1，为真命题．其中真命题的个数是1.故选B.

3．以下说法正确的有________．(填序号)

①设a>0且a≠1，则命题“若log2(a＋1)>1，则函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数”是真命题；

②命题“若a≠0，则a(b＋1)≠0”的否命题是“若a＝0，则a(b＋1)＝0”；

③命题“若x，y都是偶数，则(x＋1)(y＋1)是偶数”的逆命题为真命题．

答案　①②

解析　①正确，若log2(a＋1)＞1，则a＋1＞2，a＞1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数．②正确．③错误，原命题的逆命题为“若(x＋1)(y＋1)是偶数，则x，y都是偶数”，此命题是假命题．例如x＝1，y＝3时，(x＋1)(y＋1)是偶数，但x，y不都是偶数．

题型 二　充分、必要条件的判断　

角度1　定义法判断充分、必要条件

1．(2019·湖南省长郡中学模拟)已知ai，bi∈R且ai，bi都不为0(i＝1,2)，则“＝”是“关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0同解”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　当a1＝－1，b1＝－1或a2＝1，b2＝1时，满足＝，但关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0的解集显然不同；当关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0的解集相同时，一定有＝，所以“＝”是“关于x的不等式a1x－b1＞0与a2x－b2＞0同解”的必要不充分条件．

角度2　集合法判断充分、必要条件

2．(2019·天津高考)设x∈R，则“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由“x2－5x<0”可得“0<x<5”；由“|x－1|<1”可得“0<x<2”．由“0<x<5”不能推出“0<x<2”，但由“0<x<2”可以推出“0<x<5”，所以“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．故选B.

角度3　等价转化法判断充分、必要条件

3．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　根据题意可知，q⇒綈p，但綈pq，那么其逆否命题为p⇒綈q，但綈qp，即p是綈q的充分而不必要条件．

判断充分、必要条件的三种方法

续表

1．(2020·四川蓉城名校高三摸底)已知实数a≠0，则“＜2”是“a＞”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　a＝－1时＜2但a＜；若a＞则a＞0.所以a·＞·即＜2.所以“a＞”⇒“＜2”，“＜2”“a＞”，所以“＜2”是“a＞”的必要不充分条件．

2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　　)

A．充分条件  B．必要条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　诗句“不破楼兰终不还”的意思是指将士们不攻破楼兰就不返回家乡，所以若“返回家乡”，则可推断将士们一定是“攻破楼兰”了，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．

3．(2018·天津高考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的(　　)

A．充分而不必要条件  B．必要而不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　解<得－<x－<，即0<x<1；解x3<1得x<1，因为(0,1)(－∞，1)，所以“<”是“x3<1”的充分而不必要条件．

题型 三　知充分、必要条件求参数的取值范围

1．(2019·四川绵阳模拟)命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是 (　　)

A．a≥1  B．a>1 

C．a≥4  D．a>4

答案　D

解析　命题可化为∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立，∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)，∴命题为真命题的充要条件为a≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.

2．已知条件p：≤－1，条件q：x2＋x<a2－a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

答案　

解析　∵綈p是綈q的充分不必要条件，

∴p是q的必要不充分条件．

由p：≤－1得＋1≤0，≤0，

解得－3≤x<1，

记A＝{x|－3≤x<1}．

由q：x2＋x<a2－a得(x＋a)[x＋(1－a)]<0.

∵a>，∴－a<－(1－a)，

故解得－a<x<a－1，记B＝{x|－a<x<a－1}．

由p是q的必要不充分条件可得BA，

∴解得<a≤2.

    知充分、必要条件求参数取值范围的步骤和注意点

    (1)步骤

    ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，如举例说明2中q对应的集合是p对应的集合的真子集．

    ②根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

     (2)三个注意点

    ①看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断．如举例说明1.

    ②注意等价转化．如举例说明2中綈p是綈q的充分不必要条件等价于p是q的必要不充分条件．

③要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍．如举例说明2.　　　　　　　　　　　　　　　

1．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　由Δ＝16－4n≥0，得n≤4.

又n∈N＋，则n＝1,2,3,4.当n＝1,2时，方程没有整数根；当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4.

2．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．

答案　[0,3]

解析　由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

则解得0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．

　组　基础关

1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是(　　)

A．若x＋y不是偶数，则x，y都不是偶数

B．若x＋y是偶数，则x，y不都是偶数

C．若x＋y是偶数，则x，y都不是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数

答案　D

解析　命题的逆否命题为否定原命题的条件和结论并交换条件和结论的位置得到的命题，所以命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选D.

2．下列命题中为真命题的是(　　)

A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程

B．抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点

C．互相包含的两个集合相等

D．空集是任何集合的真子集

答案　C

解析　A是假命题，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0不是一元二次方程；B是假命题，当a＝－2时，抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴无交点；C是真命题，即若A⊆B，B⊆A则A＝B；D是假命题，空集是任何非空集合的真子集．

3．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是(　　)

A．a＞b＋1  B．a＞b－1

C．a2＞b2  D．a3＞b3

答案　A

解析　a>b＋1⇒a＞b，当a＝2，b＝1时满足a>b，但a＝b＋1，即a>b推不出a>b＋1，故“a>b＋1”是“a>b”成立的充分而不必要条件，故选A.

4．向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，则“m＝1”是“a∥b”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若a∥b，则m2－1＝0，所以m＝±1，所以“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件．

5．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由线面平行的判定定理可知m∥n⇒m∥α，但m∥α  m∥n.

6．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)

A．真、假、真  B．假、假、真

C．真、真、假  D．假、假、假

答案　B

解析　由共轭复数的性质知，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假．

7．设a∈R，则“a＝4”是“直线l1：ax＋8y－8＝0与直线l2：2x＋ay－a＝0平行”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　∵当a≠0时，＝＝⇒直线l1与直线l2重合，∴无论a取何值，直线l1与直线l2均不可能平行，当a＝4时，l1与l2重合．故选D.

8．命题“已知在△ABC中，若角C＝90°，则角A，B都是锐角”的否命题为____________________________．

答案　已知在△ABC中，若角C≠90°，则角A，B不都是锐角

解析　否命题同时否定条件和结论．

9．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________．

答案　2

解析　原命题是真命题，所以原命题的逆否命题也是真命题；原命题的逆命题是“若a＞－6，则a＞－3”，此命题是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．综上可知，假命题有2个．

10．已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是________．

答案　(2，＋∞)

解析　由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以{x|x≥k}{x|x＜－1或x＞2}，得k＞2，所以实数k的取值范围是(2，＋∞)．

　组　能力关

1．(2019·江西抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是(　　)

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

答案　C

解析　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.

2．下列命题：

①“若a2<b2，则a<b”的否命题；

②“全等三角形的面积相等”的逆命题；

③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；

④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．

其中正确的命题是(　　)

A．③④  B．①③ 

C．①②  D．②④

答案　A

解析　①否命题是“若a2≥b2，则a≥b”，是假命题；②逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；③若ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R，则a＝0或解得a≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题．④原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．

3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S3>S2”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，S3>S2⇔S2＋a3>S2⇔a1q2>0⇔a1>0，所以“a1>0”是“S3>S2”的充要条件．

4．已知函数f(x)＝x2－2ax＋b，则“1＜a＜2”是“f(1)＜f(3)”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　解法一：因为f(x)＝x2－2ax＋b，所以f(1)＝1－2a＋b，f(3)＝9－6a＋b.f(1)－f(3)＝4a－8＝4(a－2)，若1＜a＜2，则f(1)－f(3)＜0，f(1)＜f(3)；若f(1)＜f(3)，则a＜2，推不出1＜a＜2.所以“1＜a＜2”是“f(1)＜f(3)”的充分不必要条件．

解法二：函数f(x)＝x2－2ax＋b的图象的对称轴是直线x＝a.若1＜a＜2，则0＜a－1＜1,1＜3－a＜2，即3到对称轴的距离大于1到对称轴的距离，则f(1)＜f(3)成立，若a＝0，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，满足f(1)＜f(3)，但1＜a＜2不成立．所以“1＜a＜2”是“f(1)＜f(3)”的充分不必要条件．

5．已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

答案　(－∞，－7]∪[1，＋∞)

解析　p对应的集合A＝{x|x<m或x>m＋3}，q对应的集合B＝{x|－4<x<1}，由p是q的必要不充分条件可知BA，

∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.

6．记p：x∈A，且A＝{x|a－1<x<a＋1}，q：x∈B，且B＝{x|y＝lg (x2－3x＋2)}，若綈q是綈p的充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　(－∞，0]∪[3，＋∞)

解析　因为綈q是綈p的充分条件，所以p是q的充分条件，所以A⊆B.又B＝{x|x2－3x＋2>0}＝{x|x<1或x>2}，

所以a＋1≤1或a－1≥2，所以a≤0或a≥3.