2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第4讲　幂函数与二次函数


第4讲　幂函数与二次函数
基础知识整合

1．幂函数
(1)定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
(2)常见的5种幂函数的图象

(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数的图象和性质

解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象


定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域


单调性
在x∈上单调递减；
在x∈上单调递增
在x∈
上单调递增；
在x∈上单调递减
对称性
函数的图象关于x＝－对称


1．幂函数图象特征
(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)；
(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
2．二次函数解析式的三种形式
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．一元二次不等式恒成立的条件
(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”．
4．二次函数的对称轴
二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．
5．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况
(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f.
(2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小．

1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)为(　　)
A．偶函数 B．奇函数
C．定义域内的增函数 D．定义域内的减函数
答案　D
解析　设幂函数f(x)＝xα，∵其图象过点，
∴2α＝＝2－，解得α＝－，∴f(x)＝x－，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选D．
2．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　)
A．t≤1 B．t≥1
C．t≤－1 D．t≥－1
答案　A
解析　∵函数y＝x2－2tx＋3的图象关于直线x＝t对称，且开口向上，∴t≤1.
3．(2019·河南安阳模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．2
答案　A
解析　∵f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，
∴函数f(x)＝－x2＋4x＋a在[0,1]上单调递增，∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值，∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1，故选A．
4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________.
答案　[－1,3]
解析　∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域为[－1,3]．
5．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________.
答案　－1
解析　∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α<0，故α＝－1.
6．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为________.
答案　(－∞，－3]
解析　只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3.
核心考向突破
考向一　幂函数的图象与性质

例1　(1)(2019·九江模拟)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
答案　B
解析　由题意知解得m＝1.故选B．
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)

A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
答案　B
解析　由幂函数的图象可知在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B．

幂函数的图象特征
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x分的区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

[即时训练]　1．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
答案　B
解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意．故选B．
2．(2019·昆明模拟)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜c＜b B．c＜a＜b
C．a＜b＜c D．c＜b＜a
答案　B
解析　由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，x∈(0，＋∞)，根据幂函数的单调性，知c＜a＜b.
考向二　求二次函数的解析式

例2　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解　解法一：(利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得解得
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法二：(利用顶点式)
设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：(利用两根式)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值f(x)max＝8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0(舍去)．
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：


[即时训练]　3.已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．
解　解法一：(一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则⇒∴f(x)＝－x2＋2x.
解法二：(两根式)∵f(x)图象的对称轴方程为x＝1，
∴f(2)＝f(0)＝0，f(x)＝0的两根分别为0,2.
∴可设其解析式为f(x)＝ax(x－2)．
又f(1)＝1，可得a＝－1，
∴f(x)＝－x(x－2)＝－x2＋2x.
解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，
∴可设其解析式为f(x)＝a(x－1)2＋1.
又由f(0)＝0，可得a＝－1，
∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.

精准设计考向，多角度探究突破
考向三　二次函数的图象与性质
角度1　　二次函数的单调性

例3　(1)函数f(x)＝ax2－2x＋3在区间[1,3]上为增函数的充要条件是(　　)
A．a＝0 B．a<0
C．0 答案　D
解析　当a＝0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函数f(x)＝ax2－2x＋3图象的对称轴方程为x＝，要使f(x)在区间[1,3]上为增函数，则或解得a≥1.故选D．
(2)已知函数f(x)＝－2x2＋bx，若对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，则f(－2)，f(4)，f(5)的大小关系为(　　)
A．f(5)>f(－2)>f(4) B．f(4)>f(5)>f(－2)
C．f(4)>f(－2)>f(5) D．f(－2)>f(4)>f(5)
答案　B
解析　因为对任意的实数t都有f(4＋t)＝f(4－t)，所以函数f(x)＝－2x2＋bx的图象关于直线x＝4对称，所以f(－2)＝f(10)，又函数f(x)＝－2x2＋bx的图象开口向下，所以函数f(x)在[4，＋∞)上是减函数，因为4<5<10，所以f(4)>f(5)>f(10)，即f(4)>f(5)>f(－2)．

(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．

[即时训练]　4.已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
(1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；
(2)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．
解　(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.
(2)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，
∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－4,6]，
且f(x)＝
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，
单调递减区间是[－4,0]．
角度2　　二次函数的最值问题

例4　(1)(2019·南昌模拟)如果函数f(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a＝________.
答案　1
解析　因为函数f(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a，f(2)＝4－3a，
所以或解得a＝1.
(2)已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[t，t＋2]．
①求f(x)的最值；
②当f(x)的最大值为5时，求t的值．
解　f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，其图象的对称轴为直线x＝1.
①ⅰ.若t>1，则当x＝t时，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3；当x＝t＋2时，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
ⅱ.若t≤1 ⅲ.若t＋1≤1 ⅳ.若t＋2≤1，即t≤－1，则当x＝t时，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3；当x＝t＋2时，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.
②由①，可知当t≤0时，f(x)max＝t2－2t－3；当t>0时，f(x)max＝t2＋2t－3，
设f(x)的最大值为g(t)，则g(t)＝
因为g(t)＝5，所以⇒
⇒t＝－2；
⇒⇒t＝2.
故当f(x)的最大值为5时，t＝2或t＝－2.

二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．
(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．

[即时训练]　5.已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．
解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去．
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝.
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为或－3.
角度3　与二次函数有关的恒成立问题

例5　(1)(2019·合肥模拟)设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，0] B．
C．(－∞，0)∪ D．
答案　D
解析　由题意，f(x)<－m＋4对于x∈[1,3]恒成立即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1,3]恒成立．∵当x∈[1,3]时，x2－x＋1∈[1,7]，∴不等式f(x)<－m＋4等价于m<.∵当x＝3时，取最小值，
∴若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立，则必须满足m<，因此，实数m的取值范围为，故选D．
(2)已知函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，若∀x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围为________.
答案　
解析　因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，其图象的对称轴为x＝－(a－2)，∀x∈[－3,1]，f(x)>0恒成立，所以讨论对称轴与区间[－3,1]的位置关系得
或或
解得a∈∅或1≤a<4或－
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

[即时训练]　6.已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．
(1)对任意x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(2)存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；
(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．
解　(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3,3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，有86－k≤0，得k≥86.
(2)由题意，存在x∈[－3,3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3,3]时有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，有－10－k≤0，得k≥－10.
(3)对任意x1，x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)成立，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3,3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.故有120－k≤2，得k≥118.

(2019·广州模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求实数a的值．
解　当对称轴x＝a<0时，如图1所示，当x＝0时，y有最大值ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1.
当0≤a≤1时，如图2所示，当x＝a时，y有最大值ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.

∴a2－a＋1＝2，解得a＝.
∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)．
当a>1时，如图3所示．
当x＝1时，y有最大值．
ymax＝f(1)＝2a－a＝2.
∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.
综上可知，实数a的值为－1或2.
答题启示
二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固
定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图象及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论．
对点训练
设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以其最小值为f(t＋1)＝t2＋1；

当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1；
当t>1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，f(x)min＝