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2021高三统考北师大版数学一轮学案：第2章第3讲 函数的奇偶性与周期性
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第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础知识整合
1．函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
图象特点
关于原点对称
关于y轴对称
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋a，则f(－8)＝( )
A．－3－a B．3＋a
C．－2 D．2
答案 C
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝a＝0，f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2.
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B．
C． D．－
答案 B
解析 显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，即a＋b＝.
3．(2020·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
答案 C
解析 函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．
4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
答案 B
解析 ∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
答案 4
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－4a＝x2＋(a－4)x－4a，a－4＝4－a，a＝4.
6．(2019·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝
则f＋f＝________.
答案
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
核心考向突破
考向一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
(5)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(6)f(x)＝.
解 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)在定义域为R，关于原点对称，当x>0时，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，
f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
(4)∵f(x)的定义域为[－1,4]不关于原点对称，
∴该函数即不是奇函数，也不是偶函数．
(5)f(x)定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)．
∴该函数为奇函数．
(6)由1－x2≥0得－1≤x≤1，∴x＋2>0，
∴f(x)＝，定义域为[－1,1]．
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
[即时训练] 1.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sinx
答案 D
解析 A选项为奇函数；B，C选项为偶函数；D选项是非奇非偶函数，选D．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
答案 B
解析 设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．
考向二 函数奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)＝
解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，
又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，
∵f(x)为定义域R的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(|2x－1|)
已知函数奇偶性可以解决的几个问题
(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得到参数的值．
(4)解不等式：利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本的不等式，进而得出未知数的范围．
(5)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
[即时训练] 3.若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________.
答案 x＝1
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象的对称轴方程为x＝1.
4．若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且函数f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)>0的解集为________.
答案 (5，＋∞)
解析 由f(x－2)为奇函数可知f(x－2)的图象关于原点对称，则y＝f(x)的图象关于点(－2,0)对称，
∴f(3－x)>0等价于f(3－x)>f(－2)，
∴3－x<－2，∴x>5，即所求解集为(5，＋∞)．
考向三 函数的周期性
例3 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
答案 C
解析 因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，
所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，
因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C．
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 6
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
函数周期性的判断与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
[即时训练] 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2021)＋f(2019)的值为( )
A．0 B．－4
C．－2 D．2
答案 A
解析 当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2021)＝f(2021)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2021)＋f(2019)＝0.故选A．
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1,3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝________.
答案 337
解析 由题意得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＝336×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝337.
考向四 函数的对称性
例4 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案 B
解析 由f(－x)＝2－f(x)得f(－x)＋f(x)＝2，即函数f(x)图象关于点(0,1)对称，又y＝＝1＋的图象也关于点(0,1)对称，∴x1＋x2＋…＋xm＝0，y1＋y2＋…＋ym＝m，∴ (xi＋yi)＝m.
函数周期性的判断与应用
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b.
[即时训练] 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案 －8
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)可化为f(x)＝－f(x－4)＝f(4－x)，即f(x)的图象关于x＝2对称，且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)可知函数周期为8，不妨设x1
精准设计考向，多角度探究突破
考向五 函数性质的综合应用
角度1 奇偶性与单调性
例5 (1)(2019·天津模拟)设奇函数f(x)在[－2,2]上是减函数，且f(2)＝－3，若不等式f(x)<2t＋1对所有的x∈[－2,2]都成立，则t的取值范围是( )
A．[－1,1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 因为奇函数f(x)在[－2,2]上是减函数，且f(2)＝－3，所以在[－2,2]上f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝3，要使不等式f(x)<2t＋1对所有的x∈[－2,2]都成立，则2t＋1>f(x)max，即2t＋1>3，解得t>1，故选C．
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
所以f(1－m)
所以解得－1≤m<.
故填.
(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．
(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．
[即时训练] 8.(2019·成都第二次诊断检测)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )
A．f(π)
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，所以当x∈[2,6]时，f(x)单调递增，f()＝f(4－)，因为2<4－<3<π<6，所以f()
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析
∵f(x)是奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2
例6 (1)(2020·呼伦贝尔模拟)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，当x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是( )
A．f(4.5)
解析 由题知f(x)是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x＝2.因为当x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，所以f(x)在区间(0,2)上是增函数．又f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，且0<0.5<1<1.5<2，所以f(0.5)
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
答案
解析 依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，
所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.
利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．
本例(1)就是将待比较的函数值的自变量全部转化到(0,2)上，再比较大小．
[即时训练] 10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析
f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期T＝8，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
因为f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)≥0，
所以f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)≤0，
又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．
同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0，
从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．
因为f(－25)＝f(－1)<0，f(11)＝f(3)>0，f(80)＝f(0)＝0.所以f(－25)
答案 2.5
解析 由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)，
故函数f(x)的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
答案 －2
解析 设g(x)＝ln (－x)，则f(x)＝g(x)＋1，∵g(－x)＋g(x)＝0，且g(x)的定义域为R，关于原点对称，∴g(x)是奇函数，∴f(－a)＋f(a)＝g(－a)＋g(a)＋2＝2，∴f(－a)＝－2.
答题启示
整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解．本题如未注意到函数g(x)＝ln (－x)的奇偶性，盲目代入计算，会由于过繁而致误．
对点训练
(2019·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.
第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础知识整合
1．函数的奇偶性
奇函数
偶函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x
都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
图象特点
关于原点对称
关于y轴对称
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
1．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝log3(x＋1)＋a，则f(－8)＝( )
A．－3－a B．3＋a
C．－2 D．2
答案 C
解析 因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝a＝0，f(－8)＝－f(8)＝－log3(8＋1)＝－2.
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－ B．
C． D．－
答案 B
解析 显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，即a＋b＝.
3．(2020·大连测试)下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )
A．y＝－ B．y＝log2|x|
C．y＝1－x2 D．y＝x3－1
答案 C
解析 函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C符合要求．
4．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))
答案 B
解析 ∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上．
5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
答案 4
解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a.因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝x2＋(4－a)x－4a＝x2＋(a－4)x－4a，a－4＝4－a，a＝4.
6．(2019·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝
则f＋f＝________.
答案
解析 由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.
核心考向突破
考向一 函数奇偶性的判断
例1 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；
(5)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(6)f(x)＝.
解 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)在定义域为R，关于原点对称，当x>0时，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，
f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
(4)∵f(x)的定义域为[－1,4]不关于原点对称，
∴该函数即不是奇函数，也不是偶函数．
(5)f(x)定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)．
∴该函数为奇函数．
(6)由1－x2≥0得－1≤x≤1，∴x＋2>0，
∴f(x)＝，定义域为[－1,1]．
∴f(－x)＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：
f(x)
g(x)
f(x)＋g(x)
f(x)－g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
[即时训练] 1.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cosx
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sinx
答案 D
解析 A选项为奇函数；B，C选项为偶函数；D选项是非奇非偶函数，选D．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( )
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
答案 B
解析 设g(x)＝xf(x)．因为f(－x)＝－f(x)，所以g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)，
所以g(－x)＝g(x)，所以B正确．
考向二 函数奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)＝
解析 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，
又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，
∵f(x)为定义域R的奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝
(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)
解析 ∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，∴f(|2x－1|)
已知函数奇偶性可以解决的几个问题
(1)求函数值：利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得到参数的值．
(4)解不等式：利用奇偶性与单调性将抽象函数的不等式转化为基本的不等式，进而得出未知数的范围．
(5)画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．
[即时训练] 3.若函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图象的对称轴方程为________.
答案 x＝1
解析 ∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，∴f(x)的图象的对称轴方程为x＝1.
4．若函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且函数f(x)在区间[－2，＋∞)上单调递减，则f(3－x)>0的解集为________.
答案 (5，＋∞)
解析 由f(x－2)为奇函数可知f(x－2)的图象关于原点对称，则y＝f(x)的图象关于点(－2,0)对称，
∴f(3－x)>0等价于f(3－x)>f(－2)，
∴3－x<－2，∴x>5，即所求解集为(5，＋∞)．
考向三 函数的周期性
例3 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．50
答案 C
解析 因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，
所以f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，所以T＝4，
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，
因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，
因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C．
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
答案 6
解析 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，
即f(x＋6)＝f(x)，
∴f(x)是周期为6的周期函数，
∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．
又f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.
函数周期性的判断与应用
(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．
[即时训练] 5.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2021)＋f(2019)的值为( )
A．0 B．－4
C．－2 D．2
答案 A
解析 当x≥0时，f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2021)＝f(2021)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－＝－1，所以f(－2021)＋f(2019)＝0.故选A．
6．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1,3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2021)＝________.
答案 337
解析 由题意得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2021)＝336×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝337.
考向四 函数的对称性
例4 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝( )
A．0 B．m
C．2m D．4m
答案 B
解析 由f(－x)＝2－f(x)得f(－x)＋f(x)＝2，即函数f(x)图象关于点(0,1)对称，又y＝＝1＋的图象也关于点(0,1)对称，∴x1＋x2＋…＋xm＝0，y1＋y2＋…＋ym＝m，∴ (xi＋yi)＝m.
函数周期性的判断与应用
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(x)＝f(2a－x)．
(2)若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，则f(x)＋f(2a－x)＝2b.
[即时训练] 7.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
答案 －8
解析 ∵f(x)是奇函数，∴f(x－4)＝－f(x)可化为f(x)＝－f(x－4)＝f(4－x)，即f(x)的图象关于x＝2对称，且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)可知函数周期为8，不妨设x1
精准设计考向，多角度探究突破
考向五 函数性质的综合应用
角度1 奇偶性与单调性
例5 (1)(2019·天津模拟)设奇函数f(x)在[－2,2]上是减函数，且f(2)＝－3，若不等式f(x)<2t＋1对所有的x∈[－2,2]都成立，则t的取值范围是( )
A．[－1,1] B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 因为奇函数f(x)在[－2,2]上是减函数，且f(2)＝－3，所以在[－2,2]上f(x)max＝f(－2)＝－f(2)＝3，要使不等式f(x)<2t＋1对所有的x∈[－2,2]都成立，则2t＋1>f(x)max，即2t＋1>3，解得t>1，故选C．
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)
解析 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
所以f(1－m)
所以解得－1≤m<.
故填.
(1)利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．
(2)注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用．
[即时训练] 8.(2019·成都第二次诊断检测)已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，且函数f(x＋2)为偶函数．则下列结论正确的是( )
A．f(π)
解析 因为函数f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又当x∈[－2,2]时，f(x)单调递减，所以当x∈[2,6]时，f(x)单调递增，f()＝f(4－)，因为2<4－<3<π<6，所以f()
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析
∵f(x)是奇函数，
∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2
例6 (1)(2020·呼伦贝尔模拟)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，当x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是( )
A．f(4.5)
解析 由题知f(x)是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x＝2.因为当x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，所以f(x)在区间(0,2)上是增函数．又f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，且0<0.5<1<1.5<2，所以f(0.5)
①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________.
答案
解析 依题意知，函数f(x)为奇函数且周期为2，
所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f
＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f
＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝.
利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质．
本例(1)就是将待比较的函数值的自变量全部转化到(0,2)上，再比较大小．
[即时训练] 10.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)
解析
f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，所以函数的周期T＝8，又f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.
因为f(x)在[0,2]上是增函数，且f(x)≥0，
所以f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)≤0，
又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．
同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0，
从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．
因为f(－25)＝f(－1)<0，f(11)＝f(3)>0，f(80)＝f(0)＝0.所以f(－25)
答案 2.5
解析 由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)，
故函数f(x)的周期为4.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．
∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.
∴f(105.5)＝2.5.
(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln (－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.
答案 －2
解析 设g(x)＝ln (－x)，则f(x)＝g(x)＋1，∵g(－x)＋g(x)＝0，且g(x)的定义域为R，关于原点对称，∴g(x)是奇函数，∴f(－a)＋f(a)＝g(－a)＋g(a)＋2＝2，∴f(－a)＝－2.
答题启示
整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解．本题如未注意到函数g(x)＝ln (－x)的奇偶性，盲目代入计算，会由于过繁而致误．
对点训练
(2019·长春调研)已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 C
解析 f(x)＝＝1＋，而h(x)＝是奇函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2－＝，故选C.
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