2021高三统考北师大版数学一轮学案：第10章第1讲　随机抽样

第十章  统计、统计案例

第1讲　随机抽样

基础知识整合

1．简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

(2)最常用的简单随机抽样方法：抽签法和随机数法．

(3)抽签法与随机数法的区别与联系

抽签法和随机数法都是简单随机抽样方法，但是抽签法适合在总体和样本都较少，容易搅拌均匀时使用，而随机数法除了适合总体和样本都较少的情况外，还适用于总体较多但是需要的样本较少的情况，这时利用随机数法能够快速地完成抽样．

2．系统抽样的步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．

(1)先将总体的N个个体编号．

(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当是整数时，取k＝.

(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．

(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．

3．分层抽样

(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．

2．系统抽样是等距抽样，入样个体的编号相差的整数倍．

3．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘以抽样比．

1．(2019·四川资阳模拟)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为(　　)

A．6  B．4

C．3  D．2

答案　C

解析　抽取的女生人数为×18＝3，故选C.

2．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1＝p2<p3  B．p2＝p3<p1

C．p1＝p3<p2  D．p1＝p2＝p3

答案　D

解析　随机抽样包括：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率都相等．故选D.

3．(2019·海口调研)某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编号为3，则抽取的最大编号为(　　)

A．15  B．18

C．21  D．22

答案　C

解析　系统抽样的抽取间隔为＝6，若抽到的最小编号为3，则抽取到的最大编号为6×3＋3＝21.故选C.

4．(2020·郑州摸底)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为(　　)

A．25,25,25,25  B．48,72,64,16

C．20,40,30,10  D．24,36,32,8

答案　D

解析　因为抽样比为＝，所以每类人中应抽选的人数分别为4800×＝24,7200×＝36,6400×＝32,1600×＝8.故选D.

5．(2019·广东省七校联考)假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500支疫苗按000,001，…，499进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3支疫苗的编号为________．(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)

84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67　21 76 33 50 25　83 92 12 06 76

63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75　12 86 73 58 07　44 39 52 38 79

33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38　15 51 00 13 42　99 66 02 79 54

答案　068

解析　由题意，得从随机数表第7行第8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号依次是331,455,068，故抽取的第3支疫苗的编号是068.

核心考向突破

考向一　简单随机抽样

例1　(1)“七乐彩”的中奖号码是从分别标有1,2，…，30的30个小球中逐个不放回地摇出7个小球来按规则确定中奖情况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是(　　)

A．系统抽样法  B．抽签法

C．随机数法  D．其他抽样方法

答案　B

解析　30个小球相当于号签，搅拌均匀后逐个不放回地抽取，是典型的抽签法．故选B.

(2)(2019·江西名校模拟)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A.08  B．07

C．02  D．01

答案　D

解析　选出来的5个个体的编号依次是08,02,14,07,01，故选D.

(1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取．

(2)抽签法与随机数法的适用情况

①抽签法适用于总体中个数较少的情况，随机数法适用于总体中个数较多的情况．

②一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：

一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．

[即时训练]　1.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为(　　)

A．180  B．400

C．450  D．2000

答案　C

解析　设这个学校高一年级的学生人数约为x，则＝，∴x＝450.故选C.

2．福利彩票“双色球”中红色球的号码可从编号为01，02，…，33的33个数中随机选取，某彩民利用下面的随机数表选取6个数作为6个红色球的号码，选取方法是从下列随机数表中第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的号码为(　　)

A.23  B．09

C．02  D．17

答案　C

解析　从随机数表第1行第6列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的号码依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的号码为02.故选C.

考向二　分层抽样

例2　(1)(2019·江西新八校第二次联考)某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，现采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为(　　)

A．35,33,30  B．36,32,30

C．36,33,29  D．35,32,31

答案　B

解析　先将每个年级的人数凑整，得高一1800人，高二1600人，高三1500人，则三个年级的人数所占比例分别为，，，因此，各年级抽取人数分别为98×＝36,98×＝32,98×＝30，故选B.

(2)(2020·河南百校联盟仿真)2020年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识A“谢谢惠顾”、标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有A，B，C标识的饮料数量之比为3∶1∶2，若顾客购买了一箱(12瓶)该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

答案　B

解析　根据题意，得 “品牌纪念币一枚”的瓶数占总体的＝，则一箱中兑换“品牌纪念币”的数量为×12＝4.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分层抽样的步骤

(1)将总体按一定标准分层．

(2)计算各层的个体数与总体数的比，按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取的样本容量．

 (3)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)．

[即时训练]　3.(2019·广西南宁二中6月份考试)如下饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为(　　)

A．12  B．6

C．4  D．3

答案　D

解析　青年教师的人数为120×30%＝36，所以青年女教师为12人，故青年女教师被选出的人数为12×＝3.故选D.

4．(2019·河北五个一名校联盟第一次诊断)经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1∶3∶6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人人数为12，则n＝(　　)

A．30  B．40

C．60  D．80

答案　B

解析　由题意，设老年人和青年人人数分别为x，y，由分层抽样，得x∶12∶y＝1∶3∶6，解得x＝4，y＝24，则n＝4＋12＋24＝40，故选B.

考向三　系统抽样

例3　(1)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是(　　)

A．8号学生  B．200号学生

C．616号学生  D．815号学生

答案　C

解析　根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为＝10.因为46除以10余6，所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.

(2)(2020·河南部分省示范性高中1月份联考)某学校为落实学生掌握社会主义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取30人进行调查．现将2400名学生随机地从1～2400进行编号，按编号顺序平均分成30组(1～80号，81～160号，…，2321～2400号)，若第3组与第4组抽出的号码之和为432，则第6组抽到的号码为(　　)

A．416  B．432

C．448  D．464

答案　A

解析　设第n组抽到的号码是an，则{an}构成以80为公差的等差数列，

所以a3＝a1＋80×2＝160＋a1，

a4＝a1＋80×3＝240＋a1，

所以a3＋a4＝2a1＋80×5＝432，

解得a1＝16，

所以a6＝16＋80×5＝416.故选A.

(1)系统抽样适用于元素个数很多且均衡的总体，样本容量也较大．

(2)各个个体被抽到的机会均等．

(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样，一旦起始编号确定，其他编号也就确定了．

(4)若总体容量不能被样本容量整除可以先从总体中随机地剔除几个个体，使总体容量能被样本容量整除．

(5)样本容量是几就分几段，每段抽取一个个体．

[即时训练]　5.将参加夏令营的600名学生按001,002，…，600进行编号．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为 (　　)

A．26,16,8  B．25,17,8

C．25,16,9  D．24,17,9

答案　B

解析　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．令3＋12(k－1)≤300，得k≤，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495，得<k≤42，因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17；第Ⅲ营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.

6．(2019·湖北名校4月模拟)某学校从编号依次为01,02，…，90的90个学生中采用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本，已知样本中来自相邻的两个组的学生的编号分别为14,23，则该样本中来自第四组的学生的编号为________．

答案　32

解析　样本间隔为23－14＝9，则来自第一组的学生的编号为5，来自第四组的学生的编号为23＋9＝32.