2021高三统考北师大版数学一轮学案：第3章第1讲　导数的概念及运算

第三章　导数及其应用
第1讲　导数的概念及运算
基础知识整合

1．导数的概念
(1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：y′|x＝x0或f′(x0)，即f′(x0)＝ .
(2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
3．基本初等函数的导数公式
(1)C′＝0(C为常数)；(2)(xn)′＝nxn－1(n∈Q*)；
(3)(sinx)′＝cosx；(4)(cosx)′＝－sinx；
(5)(ax)′＝axln_a；(6)(ex)′＝ex；
(7)(logax)′＝；(8)(ln x)′＝.
4．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x).
特别地：[C·f(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)．
(3)′＝(g(x)≠0).
5．复合函数的导数
设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f[φ(x)]在点x处也有导数y′x＝f′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

1．f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同．
2．f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.
3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
5．两类切线问题的区别
(1)“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．
(2)“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

1．(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(　　)
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
答案　C
解析　设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C．
2．(2019·天津一模联考)已知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，f′(1)＝1，则a＝(　　)
A．1 B．2
C．e D．10
答案　C
解析　∵f(x)＝logax，∴f′(x)＝，则f′(1)＝，∴＝1，解得a＝e，故选C．
3．若曲线y＝ex＋ax＋b在点(0,2)处的切线l与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a＋b＝(　　)
A．3 B．－1
C．1 D．－3
答案　A
解析　因为直线x＋3y＋1＝0的斜率为－，所以切线l的斜率为3，即y′|x＝0＝e0＋a＝1＋a＝3，所以a＝2；又曲线过点(0,2)，所以e0＋b＝2，解得b＝1.所以a＋b＝3.故选A．
4．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________.
答案　y＝3x
解析　∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.
5.(2019·天津十二中学联考二)已知函数f(x)＝ex(2－ln x)，则f′(1)＝________.
答案　e
解析　∵f(x)＝ex(2－ln x)，∴f′(x)＝ex，则f′(1)＝e(2－ln 1－1)＝e.
6．(2019·郑州模拟)直线x－2y＋m＝0与曲线y＝相切，则切点的坐标为________.
答案　(1,1)
解析　∵y＝＝x，∴y′＝x－，令y′＝x－＝，则x＝1，则y＝＝1，即切点坐标为(1,1)．
核心考向突破
考向一　导数的概念

例1　利用导数定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解　∵Δy＝－1，
∴＝＝，
∴ ＝ ＝，
∴函数y＝在x＝1处的导数为.

导数定义探究
(1)判断一个函数在某点是否可导就是判断该函数的平均变化率当Δx→0时极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，再算比值＝，再求极限y′＝ .
(3)导数定义中，x在x0处增量是相对的，可以是Δx，也可是2Δx，－Δx等，做题要将分子分母中增量统一为一种．

(4)导数定义 ＝f′(x0)，也即 ＝f′(x0)．

[即时训练]　1.设f(x)＝x3－8x，则
(1) ＝________；
(2) ＝________.
答案　(1)4　(2)－4
解析　∵f(x)＝x3－8x，∴f′(x)＝3x2－8，
∴(1) ＝f′(2)＝4.
(2)
＝－
＝－f′(2)＝－4.
考向二　导数的基本运算
例2　求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝x；
(3)y＝sinx＋sin2x.
解　(1)y′＝′＝
＝－.
(2)因为y＝x3＋＋1，所以y′＝3x2－.
(3)y′＝cosx＋(2sinxcosx)′＝cosx＋2cos2x.

导数的运算方法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．

[即时训练]　2.求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；
(3)y＝.
解　(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.
(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.
(3)y′＝
＝＝.
精准设计考向，多角度探究突破
考向三　导数的几何意义
角度　　求切线的方程

例3　(1)(2019·四川成都模拟)曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是(　　)
A．y＝－πx＋π2 B．y＝πx＋π2
C．y＝－πx－π2 D．y＝πx－π2
答案　A
解析　因为y＝xsinx，所以y′＝sinx＋xcosx，在点P(π，0)处的切线斜率为k＝sinπ＋πcosπ＝－π，所以曲线y＝xsinx在点P(π，0)处的切线方程是y＝－π(x－π)＝－πx＋π2.故选A．
(2)(2019·河北质检)已知直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k的值是(　　)
A．e B．－e
C． D．－
答案　C
解析　依题意，设直线y＝kx与曲线y＝ln x切于点(x0，kx0)，则有由此得ln x0＝1，x0＝e，k＝.故选C．
(3)若直线l与曲线y＝ex及y＝－x2都相切，则直线l的方程为________.
答案　y＝x＋1
解析　设直线l与曲线y＝ex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线y＝－x2的切点为，因为y＝ex在点(x0，e x0)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝e x0，y＝－在点处的切线的斜率为y′|x＝x1＝|x＝x1＝－，则直线l的方程可表示为y＝e x0x－x0ex0＋e x0或y＝－x1x＋x，所以所以e x0＝1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1.

求曲线的切线方程的两种类型
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．
(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤
第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；
第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；
第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．

角度　　求切点的坐标

例4　(1)(2019·陕西模拟)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为(　　)
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1，－1) D．(－1,1)
答案　A
解析　对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为1，故曲线y＝(x>0)上点P处的切线斜率为－1，由y′＝－＝－1，得x＝1，则y＝1，所以点P的坐标为(1,1)．故选A．
(2)(2019·衡水调研)已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(　　)
A．3 B．2
C．1 D．
答案　A
解析　设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，由y′＝x－，得k＝x0－＝2，∴x0＝3.故选A．

求切点坐标的方法
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．

角度　　导数与函数图象

例5　(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)


答案　B
解析　∵f′(x)>0，∴函数y＝f(x)是增函数，又f′(x)在(－1,0)是增函数，在(0,1)是减函数，∴f(x)的斜率在(－1,0)越来越大，在(0,1)越来越小，故选B．
(2)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.

答案　0
解析　由题可知则k＝－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，则g′(3)＝f(3)＋3f′(x)＝0.


导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．
(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．
(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．

[即时训练]　
3．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　)


答案　D
解析　由导函数图象可知两函数的图象在x0处切线斜率相等，故选D．
4．(2019·天津高考)曲线y＝cosx－在点(0,1)处的切线方程为________.
答案　y＝－x＋1
解析　y′＝－sinx－，将x＝0代入，
可得切线斜率为－.
所以切线方程为y－1＝－x，
即y＝－x＋1.
5．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.
答案　(e，e)
解析　设点P(x0，y0)，∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x．∴曲线y＝xln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，∴1＋ln x0＝2，
∴x0＝e，y0＝eln e＝e.∴点P的坐标是(e，e)．
考向四　求参数的值或取值范围

例6　(1)(2019·沈阳模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为(　　)
A．1 B．2
C．5 D．－1
答案　A
解析　由题意可得3＝k＋1,3＝1＋a＋b，则k＝2.又曲线的导函数y′＝3x2＋a，所以3＋a＝2，解得a＝－1，所以b＝3，所以2a＋b＝1.故选A．
(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
答案　D
解析　y′＝aex＋ln x＋1，k＝y′|x＝1＝ae＋1，
∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，
即y＝(ae＋1)x－1.
又切线方程为y＝2x＋b，
∴即a＝e－1，b＝－1.故选D．
(3)(2019·成都二诊)若曲线y＝f(x)＝ln x＋ax2(a为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)
答案　D
解析　f′(x)＝＋2ax＝(x>0)，根据题意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－(x>0)恒成立，所以a≥0，故实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选D．


处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．

[即时训练]　6.已知函数f(x)＝ax2＋2bln x，若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x＋2－6ln 2，则a＋b＝(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．1
答案　A
解析　由切线方程，得f(2)＝4－6ln 2，f′(2)＝1.
∵f(x)＝ax2＋2bln x，∴f′(x)＝2ax＋，
∴解得a＝1，b＝－3，
∴a＋b＝－2.故选A．
7．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
答案　D
解析　∵f′(x)＝，
∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，于是解得m＝－2.故选D．
8．(2019·武汉一模)已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是________.
答案　
解析　由题意知曲线上存在某点的导数值为1，
所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，
即2ax2＋2x－1＝0有正根．
当a≥0时，显然满足题意；
当a<0时，需满足Δ≥0，解得－≤a<0.
综上，a≥－.

(2019·浙江杭州质检)若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
答案　A
解析　∵y＝x3，∴y′＝3x2.
设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，
则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为
y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝.
∴公切线的斜率为k＝0或k＝.
当k＝0时，切线方程为y＝0.又y＝0与y＝ax2＋x－9相切，
∴Δ＝2＋36a＝0，解得a＝－.
当k＝时，切线方程为y＝(x－1)．
由得ax2－3x－＝0.
由Δ＝9＋9a＝0，得a＝－1.
综上，a＝－1或a＝－.故选A.
答题启示
(1)求曲线的切线方程，首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．
(2)求解切线问题时，无论是已知切线的斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．
对点训练
(2018·山西师大附中质检)已知曲线y＝x3＋.
(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．
解　(1)根据已知，得点P(2,4)是切点且y′＝x2，
所以曲线在点P(2,4)处的切线的斜率为y′＝4.
所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′＝x.
所以切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
因为点P(2,4)在切线上，所以4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，所以x＋x－4x＋4＝0，
所以x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
所以(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.