2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第72课平行与垂直的综合应用

第72课　平行与垂直的综合应用

1. 掌握空间中线面平行，面面平行；线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理.

2. 运用空间中线面平行，面面平行；线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理证明空间几何图形的平行与垂直关系.

1. 阅读：必修2第32～49页.

2. 解悟：①回忆线面平行与垂直的判定定理和性质定理；②回忆面面平行与垂直的判定理和性质定理；③结合上述定理的基本图形用文字及数学符号语言来叙述定理内容；④用图表的形式来列出平行与垂直的关系图.

3. 践习：在教材空白处，完成第41页习题第1、2、3、5、6、7题；第49页练习第1、2、3题.

　基础诊断　

1. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB和PC的中点，则MN与平面PAD的位置关系为　平行　.

解析：如图，取PD的中点E，连结AE，EN.因为E，N分别是PD，PC的中点，所以NE∥CD且NE＝CD.因为M是AB的中点，所以AM＝CD，AM∥CD，所以EN∥AM，EN＝AM，所以四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE.因为AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD，故MN与平面PAD的关系为平行.

2. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：

①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β.

其中真命题的个数为　2　.

解析：①若α∥β，因为直线l⊥平面α，所以直线l⊥平面β.因为m⊂β，所以l⊥m，故①为真命题；②当α⊥β时，因为直线l⊥平面α，所以直线l∥平面β或l⊂β，所以l与m可能相交或异面，故②为假命题；③因为l∥m，直线l⊥平面α，所以直线m⊥平面α.因为m⊂β，所以α⊥β，故③为真命题，故真命题的个数为2.

3. 下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：

①与两条平行线中一条平行的平面必与另一条直线平行；

②与两条平行线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；

③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；

④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；

⑤与两个平行平面中一个平面平行的直线与另一个平面平行；

⑥与两个平行平面中一个平面垂直的直线必与另一个平面垂直；

⑦与两个垂直平面中一个平面平行的直线必与另一个平面垂直；

⑧与两个垂直平面中一个平面垂直的直线必与另一个平面平行.

其中正确的命题的序号是　②⑥　.

解析：依题意，作长方体ABCDA1B1C1D1的图形如下：

对于①，由图可知，AB∥CD，AB∥平面DCC1D1，但CD⊂平面DCC1D1，故①错误；

对于②，由线面垂直的性质定理得与两条平行直线中一条垂直的平面与另一条直线垂直，故②正确；

对于③，由图可知，AD⊥CD，CD∥平面A1B1C1D1，但AD∥平面A1B1C1D1，故③错误；

对于④，由图可知，AD⊥CD，AD⊥平面D1C1CD，但CD⊂平面D1C1CD，故④错误；

对于⑤，与两个平行平面中一个平面平行的直线，可能在另一个平面或与另一个平面平行，故⑤错误；

对于⑥，由面面平行的性质得，与两个平行平面中一个平面垂直的直线必与另一个平面垂直，故⑥正确；

对于⑦，由图可知，平面DCC1D1⊥平面ABCD，AB∥平面DCC1D1，但AB⊂平面ABCD，故⑦错误；

对于⑧，由图可知，平面DCC1D1⊥平面ABCD，AD⊥平面DCC1D1，但AD⊂平面ABCD，故⑧错误.

故正确命题的序号为②⑥.

4. 设α、β、γ是三个不同的平面，l、m、n是三条不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为　②③　.

①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；

②n⊥α，n⊥β，m⊥α；

③α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；

④m⊥α，α⊥γ，β⊥γ.

解析：①因为α⊥β，α∩β＝l，m⊥l.若m⊂β，则m与平面β不垂直，故①错误；②因为n⊥α，m⊥α，所以m∥n.因为n⊥β，所以m⊥β，故②正确；③因为α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β，所以由直线与平面垂直的判定定理得m⊥β，故③正确；④因为m⊥α，α⊥γ，β⊥γ，所以m与β平行或m⊂β或m与β相交，故④错误，故填②③.

　范例导航　

考向❶  线面、面面平行与垂直关系的相互转化

例1　如图，已知在空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点.

(1) 求证：AB⊥平面CDE；

(2) 求证：平面CDE⊥平面ABC；

(3) 若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE，并给出证明.

解析：(1) 因为BC＝AC，E为AB的中点，

所以AB⊥CE.

因为AD＝BD，E为AB的中点，所以AB⊥DE.

因为CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，

所以AB⊥平面CDE.

(2) 由(1)知AB⊥平面CDE，

因为AB⊂平面ABC，

所以平面CDE⊥平面ABC.

(3) 当AF＝2FE时，GF∥平面CDE.证明如下：

取DC的中点H，连结AH，EH，FG.

因为G为△ADC的重心，

所以点G在AH上，且AG＝2GH.

因为AF＝2FE，所以FG∥EH.

因为FG⊄平面CDE，EH⊂平面CDE，

所以GF∥平面CDE.

如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠A＝60°，边长为a的菱形，PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，M，N分别是棱AD，PC的中点.

(1) 证明：DN∥平面PMB；

(2) 证明：平面PMB⊥平面PAD；

(3) 求点A到平面PMB的距离.

解析：(1) 取PB的中点Q，连结MQ，NQ.

因为Q，N分别是棱PB，PC的中点，

所以QN∥BC，且QN＝BC.

因为M是AD的中点，

所以MD＝BC，且MD∥BC，

所以MD∥QN且MD＝QN，

所以四边形MDNQ是平行四边形.

因为MQ⊂平面PMB，DN⊄平面PMB，

所以DN∥平面PMB.

(2) 因为PD⊥底面ABCD，MB⊂平面ABCD，

所以PD⊥MB.

因为底面ABCD是∠A＝60°，边长为a的菱形，且M为AD的中点，所以MB⊥AD.

又AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，

所以MB⊥平面PAD.

因为MB⊂平面PMB，

所以平面PMB⊥平面PAD.

(3) 因为M是AD的中点，

所以点A与点D到平面PMB的距离相等.

过点D作DH⊥PM，垂足为H.

由(2)知平面PMB⊥平面PAD.

因为平面PMB∩平面PAD＝PM，

所以DH⊥平面PMB，

故DH是点D到平面PMB的距离，

在Rt△PDM中，

DH＝＝＝a，

所以点A到平面PMB的距离为a.

考向❷  垂直关系与线面角的探求

例2　如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

(1) 证明：AC⊥平面BCDE；

(2) 求直线AE与平面ABC所成角的正切值.

解析：(1) 连结BD.

由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝.

因为AC＝，AB＝2，

所以AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，且平面ABC∩平面BCDE＝BC，

所以AC⊥平面BCDE.

(2) 在直角梯形BCDE中，

由BD＝BC＝，DC＝2，得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，且平面ABC∩平面BCDE＝BC，所以BD⊥平面ABC.

作EF∥BD交CB的延长线于点F，连结AF，

则EF⊥平面ABC，

所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角，且EF⊥AF.

在Rt△BEF中，

因为EB＝1，∠EBF＝45°，所以EF＝BF＝.

在Rt△AFC中，AC＝，FC＝，

所以AF＝＝，

在Rt△AEF中，

所以tan∠EAF＝＝.

如图，已知在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1).

(1) 求证：不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；

(2) 当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

解析：(1) 因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，

所以AB⊥CD.

因为CD⊥BC，且AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，

所以CD⊥平面ABC.

又＝＝λ(0<λ<1)，

所以不论λ为何值，恒有EF∥CD，

所以EF⊥平面ABC.

又EF⊂平面BEF，

所以不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.

(2) 由(1)知EF⊥BE，

又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，BE⊂平面BEF，

所以BE⊥平面ACD，所以BE⊥AC.

因为BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，

AB⊥平面BCD，

所以BD＝，AB＝tan 60°＝，

所以AC＝＝.

在Rt△ABC中，由AB2＝AE·AC得AE＝，

所以λ＝＝，

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.

　自测反馈　

1. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的　必要不充分　条件.

解析：当α⊥β，且m在平面α内时，m与β可能相交也可能平行，故充分性不成立；当m⊥β，m⊂α时，由面面垂直判定定理可得α⊥β，故必要性成立，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.

2. 设α和β为两个不重合的平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直.

其中真命题的序号是　①②　.

解析：①由平面与平面平行的判定定理可得①正确；②由直线与平面平行的判定定理可得②正确；③α内两直线互相垂直，不能推得两平面互相垂直，故③错误；④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条相交直线垂直，故④错误.故填①②.

3. 如图，平面ABC⊥平面BCD，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，则AD＝　a.

解析：取BC的中点E，连结AE，DE.

因为AB＝AC＝a，

所以AE⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCD，

平面ABC∩平面BCD＝BC，

所以AE⊥平面BCD.

因为DE⊂平面BCD，

所以AE⊥DE.计算得BC＝a，AE＝a，

DE＝BC＝a，所以AD＝＝a.

1. 线面、面面的平行和垂直关系的相互转化，常常能帮助探究定向.如，例1.

2. 当题设条件中给定一些数量关系(长度)时，往往要先通过计算，确定各个面的形状，进而发现其中的位置关系(垂直、平行、中点等).如，例2.

3. 你还有哪些体悟，请写下来：