2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第71课平面与平面垂直

第71课　平面与平面垂直

1. 掌握空间面面垂直的判定定理与性质定理，理解定理的推导过程.

2. 能运用面面垂直的判定定理和性质定理证明空间图形的垂直关系，体会线面垂直关系的相互转化.

1. 阅读：必修2第46～49页.

2. 解悟：①读懂二面角的定义，并能与平面中的角进行比较；②研读直二面角的定义；③画出两个平面垂直的判定与性质定理中的关键词，并能理解为什么要有这样的条件；④能结合两个定理的基本图形，用文字和数学符号两种语言来叙述定理.

3. 践习：在教材空白处，完成第49页练习第3、4、5题.

　基础诊断　

1. 已知直线a和两个平面α，β，给出下列四个命题：

①若a∥α，则平面α内的任何直线都与a平行；

②若a⊥α，则平面α内的任何直线都与a垂直；

③若α∥β，则平面β内的任何直线都与平面α平行；

④若α⊥β，则平面β内的任何直线都与平面α垂直.

其中正确的是　②③　.(填序号)

解析：①α内的直线与直线a的关系为平行或异面，只有过直线a的平面与平面α的交线才与直线a平行，故①错误；②因为a⊥α，所以a垂直平面α内的任意一条直线，故②正确；③若α∥β，则平面α与平面β无公共点，则平面β内的任意一条直线与平面α无公共点，所以平面β内的任何直线都与平面α平行，故③正确；④若α⊥β，则在平面β内垂直于它们交线的直线垂直于平面α，故④错误，故填②③.

2. 已知平面α，β，γ，且α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ，则直线l与平面γ的关系为　垂直　.

解析：由题意设α∩γ＝m，β∩γ＝n.因为α∩β＝l，所以在l上任取一点P，过点P在平面α内作PA⊥m，过点P在平面β内作PB⊥n.因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以PA⊥γ.因为β⊥γ，β∩γ＝n，所以PB⊥γ，所以PA与PB重合，即为l，所以l⊥γ，故直线l与平面γ的关系为垂直.

3. 设α，β是空间中两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个你认为正确的命题：　①③④⇒②(或②③④⇒①)　.(用序号表示)

解析：共有四个命题，①②③⇒④； ①②④⇒③；①③④⇒②；②③④⇒①.对于①②③⇒④，若m⊥n，α⊥β，n⊥α，则m与α可垂直也可平行，故是假命题；对于①②④⇒③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β可垂直也可平行，故是假命题；对于①③④⇒②，若m⊥n，n⊥β，m⊥α，则α⊥β.因为m⊥n，n⊥β，所以m∥β.因为m⊥α，所以α⊥β，故是真命题；同理可证②③④⇒①也是真命题，故可填①③④⇒②或②③④⇒①.

4. 如图，在四面体DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，给出下列结论：

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BDC；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE.

其中正确结论的序号是　③　.

解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故③正确.

　范例导航　

考向❶  平面与平面垂直的判定

例1　如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.求证：

(1) 平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2) 直线A1F∥平面ADE.

解析：(1) 因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC1B1.

因为AD⊂平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2) 因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

又CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

因为AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以直线A1F∥平面ADE.

如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：

(1) DE＝DA；

(2) 平面BDM⊥平面ECA；

(3) 平面DEA⊥平面ECA.

解析：(1) 取EC的中点F，连结DF.

因为FC∥BD，FC＝BD，

所以四边形BDFC为平行四边形，

所以DF∥BC.

又EC⊥BC，所以DF⊥EC.

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

因为EF＝EC＝BD，FD＝BC＝AB，

所以Rt△EFD≌Rt△DBA，

所以ED＝DA.

(2) 取CA的中点N，连结MN，BN.

因为N，M分别是AC，AE的中点，

所以MN∥EC，MN＝EC，

所以MN∥BD，所以点N在平面BDM中.

因为EC⊥平面ABC，BN⊂平面ABC，

所以EC⊥BN.

又CA⊥BN，EC∩CA＝C，EC，CA⊂平面ECA，

所以BN⊥平面ECA.

因为BN⊂平面BDM，

所以平面BDM⊥平面ECA.

(3) 因为BD∥EC，MN∥EC，

所以BD∥MN.

因为BD＝EC＝MN，

所以MN∥BD，MN＝BD，

所以四边形MNBD为平行四边形，

所以DM∥BN.

由(2)知BN⊥平面ECA，所以DM⊥平面ECA.

又DM⊂平面DEA，

所以平面DEA⊥平面ECA.

考向❷  平面与平面垂直的判定、性质的应用与垂直关系的探究

例2　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1) 求证：AD⊥PB；

(2) 若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.

解析：(1) 取AD的中点G，连结PG，BG.

因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，

所以BG⊥AD.

又BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，

所以AD⊥平面PGB.

因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.

(2) 当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：

取PC的中点F，连结DE，EF，DF.

在△PBC中，因为E，F分别是BC，PC的中点，

所以FE∥PB.

因为FE⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，

所以PB∥平面DEF.

因为BE＝BC＝DG，BE∥DG，

所以四边形BGDE是平行四边形，所以GB∥DE.

因为DE⊂平面DEF，GB⊄平面DEF，

所以GB∥平面DEF.

因为GB，PB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，

所以平面DEF∥平面PGB.

又由(1)得PG⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以PG⊥平面ABCD.

又PG⊂平面PGB，

所以平面PGB⊥平面ABCD，

所以平面DEF⊥平面ABCD.

如图，在四棱锥PABCD 中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：

(1) PA⊥平面ABCD；

(2) 平面BEF⊥平面PCD.

解析：(1)  因为平面PAD⊥平面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，

所以PA⊥平面ABCD.

(2)  因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

所以AB∥ED，AB＝ED，

所以四边形ABED为平行四边形.

因为AB⊥AD，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD.

又PD⊂平面PAD，

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF，所以CD⊥EF.

又BE，EF⊂平面BEF，BE∩EF＝E，

所以CD⊥平面BEF.

又CD⊂平面PCD，

所以平面BEF⊥平面PCD.

　自测反馈　

1. 经过平面外一条直线作与这个平面垂直的平面，下列结论必定正确的是　③　.(填序号)

①不一定存在；②至多有一个；③至少有一个；④有无数个.

解析：当这条直线与这个平面垂直时，经过这条直线与已知平面垂直的平面有无数个；当这条直线与这个平面不垂直时，则满足条件的平面只有一个，故③正确.

2. 设m，n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.

其中真命题的序号是　①②　.

解析：①由直线与平面垂直的性质知，m⊥n，故①正确；②因为α∥β，β∥γ，所以α∥γ.因为m⊥α，所以m⊥γ，故②正确；③若m∥α，n∥α，则m，n可能相交，也可能异面，故③错误；④若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，故④错误，故选①②.

3. 关于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，有以下四个命题：

①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n；

②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；

③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；

④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.

其中假命题的序号是　①③④　Ｗ.

解析：若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m，n相交或m，n异面，故①是假命题；②若m∥n，m⊂α，则当n⊂α时，由n⊥β可得α⊥β.当n⊄α时，因为m∥n，m⊂α，所以n∥α.因为n⊥β，所以α⊥β，故②是真命题；③当α∩β＝m，m∥n时，n可能在平面α或β内，故③是假命题；④当m⊥n，α∩β＝m，n⊄α，n⊄β时，n与α，β不垂直，即n与α，β斜交，故④错误.

1. 运用面面垂直的判定定理时，要注意关键条件“线面垂直、线在面内”.请你回顾本课时的几道例题，这两个条件体现在什么地方？“线面垂直”又是怎么观察和分析出来的？

2. 面面垂直是“线线垂直、线面垂直”的交汇点，观察和分析时，要聚焦面面的“交线”.如，例2.

3. 你还有哪些体悟，请写下来：