2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第70课平面与平面平行

第70课　平面与平面平行

1. 理解立体几何中面面平行的判定定理与性质定理.

2. 能运用面面平行的判定定理、性质定理证明有关线面平行、面面平行的命题.

1. 阅读：必修2第43～45页.

2. 解悟：①读懂面面平行的定义，并与线面平行、线线平行的定义作比较；②圈画两个平面平行的判定定理、性质定理中的关键词，并理解为什么要有这样的关键条件；③能结合两个定理的基本图形，用“如果……，那么……”的文字语言叙述定理，用“因为 ……，所以 ……”这样的符号语言叙述定理；④两平面间的公垂线段有多少条？什么叫两个平行平面间的距离？⑤第44页例2你会证明吗？阅读教材上的证明过程，能否用线面垂直的定义去证明l⊥β？交换一下第44页例2的条件与结论，即：如果一条直线同时垂直于两个平面，这两个平面一定平行吗？你能证明吗？能作定理用吗？

3. 践习：重解第44页例1体会解题的方法和规范.在教材空白处，完成第45页练习第2、3、4、5题.

　基础诊断　

1. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N三点的平面交上底面于点Q，点Q在CD上，则PQ＝　a　.

解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面PQNM∩平面ABCD＝PQ，平面PQNM∩平面A1B1C1D1＝MN，所以MN∥PQ.因为M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，AP＝，所以CQ＝，所以DP＝DQ＝，所以PQ＝＝a.

2. 设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“若α∩β＝m，n⊂γ，且　　　　，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使得该命题为真命题.

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.其中可以填入的条件有　①③　.(填序号)

解析：因为n⊂β，n⊂γ，所以β∩γ＝n.因为α∩β＝m，α∥γ，所以根据面面平行的性质定理可知m∥n，故①正确；当β∥γ，n⊂γ，m⊂β时，直线m与n不一定平行，故②错误；由n∥β，α∩β＝m知，m，n无公共点.又因为m⊂γ，n⊂γ，可得两直线平行，故③正确，故可填①或③.

3. 已知α∥β，a⊂α，B∈β，则在平面β内，过点B的所有直线中与直线a平行的直线有　1　条.

解析：因为直线a与点B确定唯一的平面γ，则平面γ与平面β相交且交线仅有一条，由面面平行的性质定理可知这条交线与直线a平行，故过点B的所有直线中与a平行的直线有1条.

4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是　③　.(填序号)

①如果m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β；

②如果m⊂α，n⊂β，α∥β，那么m∥n；

③如果m⊂α，n⊂β，α∥β，且m，n共面，那么m∥n；

④如果m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β.

解析：①若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β可能相交，故①错误；②若α∥β，则两平面内的直线无公共点，则直线m，n可能平行，也可能异面，故②错误；③若α∥β，则两平面内的直线无公共点，则m∥n或直线m与n异面.因为m与n共面，所以m∥n，故③正确；④若m∥n，m⊥α，则n⊥α.因为n⊥β，所以α∥β，故④错误.故选③.

　范例导航　

考向❶  平面与平面平行的判定

例1　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

解析：连结B1D1，B1C.

因为P，N分别是D1C1，B1C1的中点，

所以PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，所以PN∥BD.

因为PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，

所以PN∥平面A1BD.

同理MN∥平面A1BD.

又PN∩MN＝N，PN，MN⊂平面MNP，

所以平面MNP∥平面A1BD.

【注】 证明面面平行，要经过 “线线平行→线面平行→面面平行”的转化.

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证：

(1) B，C，H，G四点共面；

(2) 平面EFA1∥平面BCHG.

解析：(1) 因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，

所以GH∥B1C1.

因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，

所以B，C，H，G四点共面.

(2) 因为E，F分别AB，AC的中点，

所以EF∥BC.

因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，

所以EF∥平面BCHG.

因为A1G∥EB且A1G＝EB，

所以四边形A1EBG是平行四边形，

所以A1E∥GB.

因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，

所以A1E∥平面BCHG.

因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面A1EF，

所以平面EFA1∥平面BCHG.

考向❷  平面与平面平行的判定和性质的综合运用

例2　如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上的一点，连结MC，N是PM与DE的交点，连结NF，求证：NF∥CM.

解析：因为D，E分别是PA，PB的中点，

所以DE∥AB.

又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以DE∥平面ABC.

同理DF∥平面ABC，

因为DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF，

所以平面DEF∥平面ABC.

又平面PCM∩平面DEF＝NF，

平面PCM∩平面ABC＝CM，

所以NF∥CM.

已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点.求证：MN∥平面α.

解析：①若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线为BD，AC.

因为α∥β，所以AC∥BD.

又M，N为AB，CD的中点，所以MN∥BD.

又BD⊂平面α，MN⊄平面α，所以MN∥平面α.

②若AB，CD异面，如图，过点A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连结MP，PN，BE，ED.

因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC，

所以平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC.

因为α∥β，所以AC∥ED.

因为P，N分别为AE，CD的中点，

所以PN∥ED.

又ED⊂α，PN⊄α，

所以PN∥平面α.

同理可证MP∥BE，

所以MP∥平面α.

因为MP∩PN＝P，MP，PN⊂平面MPN，

所以平面MPN∥平面α.

又MN⊂平面MPN，

所以MN∥平面α.

综上所述，MN∥平面α.

　自测反馈　

1. 下列可判断平面α∥平面β的条件是　④　.(填序号)

①平面α内有无数条直线平行于平面β；

②平面α与平面β平行于同一条直线；

③平面α内有两条直线平行于平面β；

④平面α内有两条相交直线平行于平面β.

解析：根据面面平行的判定定理可知④正确，①②③均错误.

2. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：

①若m∥α，则m平行于平面α内的无数条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

其中真命题的序号是　①③④　.

解析：①若m∥α，则过直线m任作平面与平面α相交所产生的交线都与直线m平行，故有无数条，故①正确；②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m，n可能平行，也可能异面，故②错误；③因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α.因为n⊥β，所以α∥β，故③正确；④因为α∥β，m⊂α，所以直线m与平面β没有公共点，所以m∥β，故④正确.故填①③④.

3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　④　.(填序号)　

①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；

②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；

③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；

④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面.

解析：①若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如正方体的两个侧面都与底面垂直，但两个侧面不平行，故①错误；②若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、相交、异面，故②错误；③若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β＝l，在α内存在直线a，使得a∥l，所以a∥β，故③错误；④“若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面”的逆否命题是“若m与n垂直于同一平面，则m，n平行”，是真命题，故④正确.故填④.

1. 运用面面平行的判定定理时，要注意关键条件“两条、相交”.如，三道例题中，在证明的哪个步骤，必须要强调“相交”？

2. 面面平行问题是线线平行、线面平行的汇合点，证明中都要归结为“线线平行”.相互转化时要逐级转化，而不能“跳级”转化.如，不能由“线线平行”直接得到“面面平行”，必须要通过“线面平行”来过渡.

3. 你还有哪些体悟，请写下来：