2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第57课平面向量的平行与垂直

第57课　平面向量的平行与垂直

1.  理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行与垂直的判定方法.

2.  能利用平面向量的平行和垂直解决相关问题.

1. 阅读：必修4第70～88页.

2. 解悟：①平行向量与共线向量；②平面直角坐标系下的向量平行与垂直；③第80页例5，如果是填空题，你有更简捷的做法吗？④重解第87页例4，体会方法和规范.

3. 践习：在教材空白处，完成第97～98页复习第9、12、13、18、21题.

　基础诊断　

1.  已知向量a＝(1，2)，b＝(m，4)，且 a∥(2a＋b)，则实数m的值为　2　.

解析：由题意得2a＋b＝(2＋m，8).因为a∥(2a＋b)，所以1×8－2×(2＋m)＝0，解得m＝2，故实数m的值为2.

2.  已知向量a＝(1，2)，b＝(0，－1)，c＝(k，－2)，若(a－2b)⊥c，则实数k的值为　8　.

解析：由题意得a－2b＝(1，4).因为(a－2b)⊥c，所以(a－2b)·c＝0，即(1，4)·(k，－2)＝0，即k－8＝0，解得k＝8，故实数k的值为8.

3.  已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，O为坐标原点，则实数k的值为　－　.

解析：由题意得＝(4－k，－7)，＝(－k－4，5).因为A，B，C三点共线，所以5(4－k)＝(－7)×(－k－4)，解得k＝－.故实数k的值为－.

4.  已知向量a＝(2，3)，b＝(2，－1)，向量a，t(a－b)，2b的起点相同，终点在一条直线上，则实数t的值为　2　Ｗ.

解析：由题意得a，t(a－b)，2b共线，所以t(a－b)＝(1－λ)a＋2λb，整理得(t－1＋λ)a－(t＋2λ)·b＝0.因为a与b是非零向量，所以解得所以实数t的值为2.

　范例导航　

考向❶  与三角函数的结合

例1　已知向量a＝，b＝(1，4cosα)，α∈(0，π).

(1) 若a⊥b，求tanα的值；

(2) 若a∥b，求α的值.

解析：(1) 因为a⊥b，

所以sin＋12cosα＝0，

即sinα＋cosα＋12cosα＝0，

即sinα＋cosα＝0.

又cosα≠0，所以tanα＝－.

(2) 若a∥b，则4cosαsin＝3，

即4cosα＝3，所以sin2α＋cos2α＝2， 所以sin＝1.因为α∈(0，π)，所以2α＋∈，

所以2α＋＝，即α＝.

已知向量a＝，b＝(2cosθ，2sinθ)，0<θ<π.

(1) 若a∥b，求角θ的大小；

(2) 若|a＋b|＝|b|，求sinθ的值.

解析：(1)  因为a∥b，所以－·2sinθ＝·2cosθ，

即－sinθ＝cosθ，

所以tanθ＝－.

又0<θ<π，所以θ＝.

(2) 因为|a＋b|＝|b|，

所以(a＋b)2＝b2，化简得a2＋2a·b＝0.

又a＝，b＝(2cosθ，2sinθ)，

则a2＝1，a·b＝－cosθ＋sinθ，

所以sinθ－cosθ＝－，

所以sin＝－<0.

又0<θ<π，cos＝，

所以sinθ＝sin＝sin·cos＋cossin＝.

考向❷  与解三角形相结合

例2　已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a，b)，q＝(sinB，sinA)，n＝(b－2，a－2).

(1) 若p∥q，求证：△ABC为等腰三角形；

(2) 若p⊥n，边长c＝2，∠C＝，求△ABC的面积.

解析：(1) 因为p∥q，所以asinA＝bsinB，

所以a·＝b·(其中R是△ABC外接圆的半径)，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形.

(2) 因为p⊥n，所以a(b－2)＋b(a－2)＝0.

所以ab＝a＋b.

因为c＝2，∠C＝，

所以4＝a2＋b2－2abcos，

即4＝(a＋b)2－3ab，

所以ab＝4或ab＝－1(舍去)，

所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.

△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a).若p∥q，则角C的大小为　　.

解析：因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b2＝0，即c2＝a2＋b2，所以△ABC是直角三角形，C＝.

考向❸  在多边形中的应用

例3　在平面直角坐标系中，已知三点A(4，0)，B(t，2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点.

(1) 若△ABC是直角三角形，求t的值；

(2) 若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值.

解析：(1) 由条件得＝(t－4，2)，＝(2，t)，＝(6－t，t－2).

若∠A＝90°，则·＝0，

即2(t－4)＋2t＝0，解得t＝2；

若∠B＝90°，则·＝0，

即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，解得t＝6±2；

若∠C＝90°，则·＝0，

即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解.

故满足条件的t的值为2或6±2. 

(2) 若四边形ABCD是平行四边形，

则＝.

设点D的坐标为(x，y).

即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，

所以

即点D(10－t，t－2).

||＝＝，

所以当t＝6时，||的最小值为4.

　自测反馈　

1.  已知向量a，b满足＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的最小值为　　.

解析：由题意知，b≠0.设a与b的夹角为θ.因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－b2＝0.因为|a|＝1，所以1－|b|·cosθ－2b2＝0，即cosθ＝，所以－1≤≤1，解得≤|b|≤1，所以|b|的最小值为.

2. 已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n，1)，＝(5，－1)，且⊥，则实数mn的值为　或18　.

解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以∥.因为＝－＝(7，－1－m)，＝－＝(5－n，－2)，所以7×(－2)＝(－1－m)(5－n)，化简得mn－5m＋n＋9＝0.又因为⊥，所以(－2，m)·(n，1)＝0，即－2n＋m＝0，联立方程组，得解得或所以mn＝18或.

3. 已知向量a＝，b＝(x，1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则实数x的值为　4　.

解析：由题意得a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1).因为(a－2b)∥(2a＋b)，所以(8－2x)(x＋1)＝·(16＋x)，解得x＝±4.因为x>0，所以x＝4.

4. 已知向量a＝，b＝，其中x>0，y>0.若a⊥b，则x＋4y的最小值为　9　.

解析：因为a⊥b，所以·＝0，即＋＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)·＝1＋＋＋4.因为x>0，y>0，所以5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝时，等号成立，故x＋4y的最小值为9.

1. 处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从而得到方程.三道例题都有体现.

2. 例3要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形结合的具体形式.

3. 你还有哪些体悟，写下来：