2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第13课__对数与对数运算

____第13课__对数与对数运算____

1. 熟练进行对数式与指数式的互化，了解常用对数和自然对数两种常用形式的对数．

2. 会运用对数的运算法则进行对数运算，并能将对数和指数的运算法则进行区分和联系．

3. 用换底公式时，能根据条件正确选择以什么量为底，能进行不同底之间的转化运算.

1. 阅读必修1第72～80页，完成以下任务：

(1) 对数的概念；底数和真数有何要求？

(2) 对数式与指数式是如何互化的？变与不变的有哪些？

(3) 自然对数与常用对数是什么？

(4) 对数的性质与运算法则有哪些？

(5) 换底公式是如何推导来的？

(6) 重点题目：第74页练习第7题；第80页习题第10、11、12题．

2. 对数式与指数式的区别与联系？

　基础诊断　

1. 2log510＋log50.25的值为__2__．

解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.

2. 已知lg2＝a，lg3＝b，则用a，b表示log126＝____．

解析：log126＝＝＝＝.因为lg2＝a，lg3＝b，所以原式＝.

3. 若log34·log48·log8m＝log416，则m＝__9__．

解析：由已知得，··＝2，即lg m＝2lg 3，所以m＝9.

4. 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝1＋2x，则f(log8)＝__－9__．

解析：因为log8＝－3，所以f(log8)＝f(－3)．因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝1＋2x，所以f(－3)＝－f(3)＝－(1＋23)＝－9，即f(log8)＝－9.

　范例导航　

考向❶  对数式的化简与求值

例1　求值：

(1) (lg5)2＋lg2×lg50；

(2) (log32＋log92)×(log43＋log83)；

(3) log2.56.25＋lg＋ln＋21＋log23.

解析：(1) 原式＝(lg 5)2＋lg 2×(1＋lg 5)＝lg 5×(lg 2＋lg 5)＋lg 2＝1.

(2) 原式＝×

＝×

＝×＝.

(3) 原式＝log2.5(2.5)2＋lg10－2＋ln e＋2×2log23＝2－2＋＋6＝.

计算：log(2＋)(2－)．

解析：方法一：利用对数定义求值

设log(2＋)(2－)＝x，

则(2＋)x＝2－＝＝(2＋)－1，

所以x＝－1.

方法二：利用对数的运算性质求值

log(2＋)(2－)＝log(2＋)＝log(2＋)(2＋)－1＝－1.

考向❷  对数运算与方程的简单综合

　　例2　已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log的值．

解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，

所以lg(xy)＝lg(x－2y)2，

所以xy＝(x－2y)2，即x2－5xy＋4y2＝0，

所以－5＋4＝0，

解得＝4或＝1(舍去)，

所以log＝log4＝4.

已知2lg＝lg x＋lg y，求log(3－2)的值．

解析：由已知得lg＝lg xy，

所以＝xy，即x2－6xy＋y2＝0，

所以－6＋1＝0，

解得＝3±2.

因为所以>1，所以＝3＋2，

所以log(3－2)＝log(3－2)(3＋2)

＝log(3－2) ＝－1.

考向❸  指数运算和对数运算的综合

例3　已知x，y，z均为正实数，且3x＝4y＝6z.

(1) 求证：－＝；

(2) 比较3x，4y，6z的大小．

解析：(1) 令k＝3x＝4y＝6z>1，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，

所以＝logk3，＝logk4，＝logk6，

所以－＝logk6－logk3＝logk＝logk2，

＝logk4＝logk2，

所以－＝.

(2)  由于x，y，z>0，故k>1.＝＝＝＝＝<1，所以3x<4y.

＝＝＝＝＝<1，

所以4y<6z.

综上所述，3x<4y<6z.

　自测反馈　

1. 若a＝log43，则2a＋2－a＝____．

解析：因为a＝log43，所以4a＝3，所以2a＝，所以2a＋2－a＝＋＝.

2. 已知lg 6＝a，lg 12＝b，那么用a，b表示lg 24＝__2b－a__．

解析：lg 24＝lg＝2lg 12－lg 6＝2b－a.

3. 设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则a，b和c的大小关系是__b<a<c__．

解析：因为c＝log45>log44＝1，即c>1；

0<a＝log54<log55＝1，即0<a<1；

0<b＝(log53)2<log53·log54<log54＝a，即b<a，所以b<a<c.

4. 方程[log2(－x)]2＝log2x2的解是__x＝－4或x＝－1__．

解析：由题意得－x>0，即x<0，所以[log2(－x)]2＝log2(－x)2，即[log2(－x)]2＝2log2(－x)．令log2(－x)＝t，则t2＝2t，解得t＝0或t＝2.当t＝0时，log2(－x)＝0，解得x＝－1；当t＝2时，log2(－x)＝2，解得x＝－4.故原方程的解是x＝－1或x＝－4.

1. 指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．

2. 指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．

3. 你还有哪些体悟，写下来：