2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第83课合情推理

第83课　合 情 推 理　　

1. 能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.

2. 会运用所学知识对结论进行判断和证明.

1. 阅读：选修12第27～31页(理科阅读选修22相应内容).

2. 解悟：①合情推理，归纳推理和类比推理的过程分别是怎样的？各有哪些特点？②归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗？体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

3. 在教材空白处，完成选修12第33页练习第3、4题，第35页练习第2、3题(理科完成选修22相应任务).

　基础诊断　

1. 数列1，3，7，13，x，31，…中的x＝　21　.

2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，　　，　　成等比数列.

解析：设等比数列{bn}的公比为q，首项为b1，则T4＝bq6，T8＝bq28，T12＝bq66，所以＝bq22，＝bq38，即＝T4·，故T4，，成等比数列.

3. 已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝　nn　.

解析：当n＝1时，a＝1；当n＝2时，a＝22＝4；当n＝3时，a＝33＝27，…，所以当x＋≥n＋1(n∈N*)时，a＝nn.

4. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝　　.

解析：如图，正四面体PABC，D为底面三角形ABC的中心，设正四面体的棱长为a，则AD＝a，PD＝a.设OA＝R，OD＝r，则R2＝＋，所以R＝a，r＝a，所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1，故正四面体PABC的内切球体积与外接球体积之比＝.

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考向❶    归纳推理问题

　　例1　如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为　　.

　　解析：该数阵前n－1行共用了1＋2＋3＋…＋(n－1)＝个数，因此，第n行(n≥3)从左向右的第3个数，是全体正整数中的第＋3个，即为.

如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，…，以此类推，则标签2 0162的格点的坐标为　(－1 008，－1 008)　.

解析：观察图中的点，点(0，0)处标0，即02，点(－1，－1)处标4，即22，点(－2，－2)处标16，即42，…，由此推断点(－n，－n)处标(2n)2，当(2n)2＝2 0162时，n＝1 008，故标2 0162的格点的坐标为(－1 008，－1 008).

【备用题】 已知函数f(x)＝(x≠－，a>0)，满足f(1)＝log162，f(－2)＝1.

(1) 求函数f(x)的表达式；

(2) 已知数列{xn}的项满足xn＝[1－f(1)]·[1－f(2)]·[1－f(3)]·…·[1－f(n)]，试求x1，x2，x3，x4；

(3) 猜想数列{xn}的通项公式.

解析：(1) 因为f(1)＝log162，f(－2)＝1，代入

f(x)＝，得 解得

所以f(x)＝(x≠－1).

(2) x1＝1－f(1)＝1－＝，

x2＝×＝，

x3＝×＝，

x4＝×＝.

(3) 把x1，x2，x3，x4的值分别写成：

x1＝，x2＝，x3＝，x4＝，

于是归纳猜想，得xn＝.

考向❷     类比推理问题

例2　已知结论“等边三角形的中心将它一边上的高所分两段之比是2∶1”.

(1) 对于正四面体，有类似的结论吗？请表示出来；

(2) 请用数学知识证明你的结论或说明其成立.

解析：(1) 正四面体的中心将它一个面上的高所分两段之比为3∶1.

(2) 设正四面体ABCD的中心为O，分别连结OA，OB，OC，OD.

由正四面体的性质可知，其中心到各个面的距离相等，设为r，其四个面的面积均相等，设为S，

设其高为h，则该四面体的体积

V＝VOABC＋VOBCD＋VOCDA＋VODAB，

所以Sh＝Sr＋Sr＋Sr＋Sr＝Sr，

所以h＝4r，

即正四面体的中心将它一个面上的高所分成两段长的比为3∶1.

　　已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是　在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝　.

　　解析：根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e.因为＝＝＝，所以由正弦定理得＝.

　自测反馈　

1. 观察分析下表中的数据：

归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是　F＋V－E＝2　.

2. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则他们的面积之比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的体积之比为　1∶8　.

解析：在空间内，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以它们的体积之比为1∶8.

3. 在平面几何中，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则　S＋S＋S＝S　.”

解析：因为三个侧面ABC，ACD，ADB两两垂直，所以AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，则由勾股定理得AB2＋AC2＝BC2，AC2＋AD2＝CD2，AD2＋AB2＝BD2.设AB＝x，AC＝y，AD＝z，所以BC＝，CD＝，BD＝.根据余弦定理可得

cos∠BCD＝＝，则sin∠BCD＝＝＝，所以由三角形面积公式得S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝··＝，即S＝x2y2＋y2z2＋x2z2＝S＋S＋S.

4. 在平面直角坐标系xOy中，设△ABC的顶点坐标分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，点P(0，p)在线段OA上(异于端点).设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F. 一同学已正确算出直线OE的方程为x＋y＝0，则OF的方程为　x－y＝0　. 

解析：由截距式可得直线AB：＋＝1，直线CP：＋＝1，两式相减得x－y＝0，显然，直线AB与CP的交点F满足此方程.又原点O也满足此方程，故直线OF的方程为x－y＝0.

1. 归纳推理和类比推理是合情推理的两种常见形式，合情推理得到的结论是猜测的性质，不全正确.

2. 归纳推理是从个别事实中推演出一般性的结论，是从特殊现象到一般现象的推理.通常归纳的个体数目越多，那么推广的一般性命题也会越可靠.

 3. 你还有哪些体悟，写下来：